题目内容
19．
如图所示，BC为半径R=2.5m的$\frac{1}{4}$圆弧，AB为光滑水平轨道，两轨道在B处相切连接；AB轨道上的滑块P通过不伸长的轻绳与套在竖直光滑细杆的滑块Q连接；开始时，P在A处，Q在与A同一水平面上的E处，且绳子刚好伸直处于水平，固定的小滑轮在D处，DE=3m不计滑轮与绳子间的摩擦和空气阻力，现把Q从静止释放，当下落h=3m时，P恰好到达圆弧轨道的B，且对B无压力．取g=10m/s2．试求：（1）在P到达B处时，P的速度大小；
（2）在P到达B处时，Q的速度大小；
（3）滑块P、Q的质量之比，即$\frac{{m}_{P}}{{m}_{Q}}$=？
分析 （1）P恰好到达圆弧轨道的B，且对B无压力，由重力提供向心力，根据向心力公式求出P到达B处时的速度；
（2）P到达B点时，绳子的速度等于P的速度，根据P、Q沿绳子方向的分速度大小相等，即可求解Q的速度；
（3）P、Q构成的系统在运动过程中只有重力做功，根据动能定理列式即可求解质量之比．
解答 解：（1）P恰好到达圆弧轨道的B处，且对B无压力，由重力提供向心力，则得：
mPg=mP$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
解得：vP=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×2.5}$=5m/s
（2）P到达B点时，DQ间的绳子与细杆间的夹角为45°．
根据P、Q沿绳子方向的分速度大小相等，有：
vQ•cos45°=vP．
解得：vQ=5$\sqrt{2}$m/s
（3）P、Q在运动过程中只有重力做功，对系统，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}$mPvP2+$\frac{1}{2}$mQvQ2=mQgh
代入数据有：12.5mP+25mQ=30mQ
解得：$\frac{{m}_{P}}{{m}_{Q}}$=$\frac{2}{5}$
答：
（1）在P到达B处时，P的速度大小为5m/s；
（2）在P到达B处时，Q的速度大小为5$\sqrt{2}$m/s；
（3）滑块P、Q的质量之比为2：5．
点评 本题主要考查了向心力公式、动能定理的直接应用，关键是明确Q、P速度关系，知道P、Q沿绳子方向的分速度大小相等．
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