题目内容

1．如图所示，两个边长均为l的正方形区城ABCD和EFGH内有竖直向上的匀强电场．DH上方有足够长的竖直向下的匀强电场．一带正电的粒子，质量为m、电荷量为q，以速度v从B点沿BC方向射人匀强电场．已知三个区域内的场强大小相等．且E=$\frac{m{v}^{2}}{ql}$，今在CDHE区域内加上合适的垂直纸面向里的匀强磁场．粒子经过该磁场后恰能从DH的中点竖直向上射人电场，粒子的重力不计，求：
（1）所加磁场的宽度$\overline{DH}$；
（2）所加磁场的磁感应强变大小；
（3）粒子从B点射入到从EFGH区城电场射出所经历的时间．

分析 （1）粒子在ABCD中做类平抛运动，应用类平抛运动轨迹可以求出磁场宽度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度大小．
（3）分别求出粒子在电场、磁场中的运动时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答 解：（1）粒子在ABCD区域做类平抛运动，
水平方向：l=vt，
加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{{v}^{2}}{l}$，
竖直方向：d=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}$$\frac{{v}^{2}}{l}$（$\frac{l}{v}$）2=$\frac{1}{2}$l，
粒子射出ABCD区域时沿场强方向的速度：vy=at=$\frac{{v}^{2}}{l}$×$\frac{l}{v}$=v，
速度偏向角：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=1，θ=$\frac{π}{4}$，
粒子从$\overline{DH}$中点竖直向上射入电场，由几何知识得：
$\overline{OD}$=$\frac{1}{2}$l，${\overline{OD}}^{2}$+$（{\frac{l}{2}）}^{2}$=R2，
解得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}l$，
R=$\overline{OD}+\frac{1}{2}\overline{DH}$，
解得：$\overline{DH}$=（$\sqrt{2}$-1）l；
（2）粒子射入磁场的速度大小：v′=$\sqrt{2}$v，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{2mv}{ql}$；
（3）粒子在左电场中偏转的运动时间：t1=$\frac{l}{v}$，
粒子在磁场中向上偏转的运动时间：t2=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{\frac{π}{4}}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πl}{8v}$，
粒子在上方电场中减速到零的匀速时间：t3=$\frac{\sqrt{2}v}{a}$，
粒子运动轨迹如图所示，根据对称性可知，粒子运动的总时间：
t=2（t1+t2+t3）=$\frac{2l}{v}$（1+$\sqrt{2}$+$\frac{π}{8}$）；
答：（1）所加磁场的宽度$\overline{DH}$为：（$\sqrt{2}$-1）l；
（2）所加磁场的磁感应强变大小为：$\frac{2mv}{ql}$；
（3）粒子从B点射入到从EFGH区城电场射出所经历的时间为：$\frac{2l}{v}$（1+$\sqrt{2}$+$\frac{π}{8}$）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子运动过程复杂，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提，作出粒子运动轨迹后，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以解题，解题时注意几何知识的应用．

练习册系列答案
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C．物体M与m做加速运动，加速度a=$\frac{（M-m）g}{M}$
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