Question

13．如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为+q的小球从A点以初速度v₀沿直线AO运动，AO与x轴负方向成37°角，在y轴与MN之间的区域Ⅰ内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到MN上的C点，MN与PQ之间区域Ⅱ内存在宽度为d的竖直向上匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动并恰好不能从右边界飞出，已知小球在C点的速度大小为2v₀，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）第二象限内电场强度E₁的大小和磁感应强度B₁的大小；
（2）区域Ⅰ内最小电场强度E₂的大小和方向；
（3）区域Ⅱ内电场强度E₃的大小和磁感应强度B₂的大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在第二象限受三个力作用做直线运动，则三力平衡．由平衡条件在水平方向和竖直方向的合力为零，可以求得第二象限的电场强度和磁感应强度．
（2）通过O点后，仍做直线运动，则电场力与重力的合力沿直线方向，要使电场强度最小，则电场力与直线垂直．画出受力图，能够求出最小的电场强度．
（3）进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，显然重力与电场力抵消，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，列出相应的半径式，就能求出该区域内的磁感应强度．

解答 解：（1）带电小球在第二象限内受重力、电场力和洛伦兹力做直线运动，三力满足如图所示关系且小球只能做匀速直线运动，由图知：
  $tan37°=\frac{q{E}_{2}}{mg}$   得：${E}_{2}=\frac{3mg}{4q}$
  $cos37°=\frac{mg}{{B}_{1}q{v}_{0}}$
  得：${B}_{1}=\frac{5mg}{4q{v}_{0}}$
（2）区域Ⅰ中小球做直线运动，电场强度最小，受力如图所示（电场力方向与速度方向垂直），小球做匀加速直线运动，
  由图知：$cos37°=\frac{q{E}_{2}}{mg}$   得 ${E}_{2}=\frac{4mg}{5q}$   
  方向与x轴正方向成53° 向上．
（3）小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，所以：
  mg=qE₃   得${E}_{3}=\frac{mg}{q}$
  因为小球恰好不从右边界穿出，小球运动轨迹如图所示，由几何关系得：$r=\frac{5}{8}d$ 
  由洛仑兹力提供向心力知：${B}_{2}q2{v}_{0}=m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$  
  联立得  ${B}_{2}=\frac{16m{v}_{0}}{5qd}$
答：（1）第二象限内电场强度E₁的大小是$\frac{3mg}{4q}$、磁感应强度B₁的大小是$\frac{5mg}{4q{v}_{0}}$．
（2）区域Ⅰ内最小电场强度E₂的大小为$\frac{4mg}{5q}$和方向与x轴正方向成53° 向上．
（3）区域Ⅱ内电场强度E₃的大小和磁感应强度B₂的大小$\frac{16m{v}_{0}}{5qd}$．

点评 本题三问题干涉及比较过程含蓄，考察三个问题：①第一问是三力平衡，由平衡条件可得到结果．②第二问涉及做直线运动的条件，是合力与速度方向在一条直线上，求另一个的最小值，只有当该力与速度方向垂直时最小．③第三问是在复合场中做匀速圆周运动，显然两个恒力相互抵消，只在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动．