Question

16．如图所示，在正方形ABCD的适当区域中有匀强磁场．现有一放射源放置于正方形ABCD顶点A处，可由A点向正方形区域内的各个方向放射质量为m、速度为v₀、带电量为e的电子．若沿AD方向发射的电子经磁场偏转后恰好可由C点射出．要使放射源由A放射的所有电子穿出匀强磁场时，都只能垂直于BC向右射出，试求匀强磁场区域分布的最小面积S．（粒子重力忽略不计）

Answer 1

分析 电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出电子的轨道半径，然后根据题意确定磁场区域范围，再求出磁场的面积．

解答 解：电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得，电子轨道半径：r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$，
沿AD方向发射的电子经磁场偏转后恰好可由C点射出，则正方形的边长：L=r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$，

以A为原点，以AD方向为y轴正方向，AB方向为x轴正方向建立直角坐标系，
设与AD夹角为θ的电子运动轨迹上与磁场的交点坐标为P（x，y），电子都垂直于BC边射出，
由几何知识可得：x=rsinθ，y=r-rcosθ，整理得：x²+（y-r）²=r²，
则电子运动轨迹与磁场的交点轨迹为以D点为圆心r为半径的圆弧，如图AFC所示，
磁场范围的上边界是圆弧AEC，磁场的最小面积：S=2（$\frac{1}{4}$πr²-$\frac{1}{2}$L²），
将L=r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$代入解得：S=$\frac{（π-2）{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$；
答：匀强磁场区域分布的最小面积S为$\frac{（π-2）{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$．

点评 本题考查了求磁场的最小面积，分析清楚电子的运动过程，应用牛顿第二定律求出电子的轨道半径，根据题意确定磁场的边界，然后可以求出磁场的面积，确定磁场边界范围是正确解题的前提与关键．