Question

18．如图所示，竖直平面内的轨道是由倾角为θ的粗糙直轨道AB和半径为R的光滑圆弧轨道BCD相切于B点而构成的，E为轨道的最低点．质量为m的小物块（可视为质点）从直轨道上的P点由静止释放，物块沿轨道向下运动．物块与轨道AB间的动摩擦因数为μ．
（1）若P点与圆心O等高，求物块运动到轨道BCD上的最高点P₁与E点间的高度差h；
（2）在保证物块能在轨道AB与BCD间做往返运动的前提下，求P、E两点间高度差H的最大值及在此条件下物块在轨道AB上运动的总路程L的最大值．

Answer 1

分析 （1）由粗糙斜面滑到光滑圆弧轨道的过程中，要克服摩擦力做功，到达圆弧轨道的高度比初始高度要低，根据定理求${P}_{1}^{\;}$与E点的高度差．
（2）保证物块能在轨道AB与BCD间做往返运动，物块弧形在轨道上升的高度最大到C点，越过C点将做抛体运动或圆周运动到D点离开，根据动能定理求出H，多次往返后最终达到稳定状态，以E点位平衡位置左右来回往复运动，到两端点速度为O，对全过程运用动能定理可以求出L．

解答 解：设${P}_{1}^{\;}$点与E点间的高度差为h，由P→${P}_{1}^{\;}$根据动能定理得
$mg（R-h）-μmgcosθ\frac{R}{tanθ}=0-0$
解得$h=R-\frac{μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ}$
（2）为保证物块能在轨道AB与BCD间做往返运动，当P、E两点间高度差H的最大值时，恰好能到达C点，由P→C根据动能定理有：
$mg（H-R）-μmgcosθ\frac{H-R（1-cosθ）}{sinθ}=0-0$
解得$H=\frac{Rsinθ-μRcosθ+μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ-μcosθ}$
对全过程运用动能定理得（B点为末状态）
mg（H-R（1-cosθ））-μmgcosθL=0-0
解得$L=\frac{H-R（1-cosθ）}{μcosθ}$（式中H如上）
答：（1）若P点与圆心O等高，求物块运动到轨道BCD上的最高点P₁与E点间的高度差h为$R-\frac{μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ}$；
（2）在保证物块能在轨道AB与BCD间做往返运动的前提下，求P、E两点间高度差H的最大值为$\frac{Rsinθ-μRcosθ+μRco{s}_{\;}^{2}θ}{sinθ-μcosθ}$及在此条件下物块在轨道AB上运动的总路程L的最大值$L=\frac{H-R（1-cosθ）}{μcosθ}$．

点评 解决本题的关键是选择研究对象和适当的过程，运用动能定理计算，结合必要的几何知识求解位移，审题时要注意鞋面粗糙，圆弧轨道光滑．