Question

3．如图，光滑水平面上有大小相同的小球A和B，A的质量为1kg，B的质量为0.5kg．B用一长为0.4m的细绳悬挂在O点，并与水平面刚好接触，但没有作用力，现给A一定的初速度v，使其向右运动并与B发生弹性碰撞，碰撞B恰好能在竖直平面内完成圆周运动，求：
（1）碰撞结束的瞬间B的速度；
（2）碰撞前A的速度；
（3）碰撞结束的瞬间，绳子的拉力．

Answer 1

分析 （1）据题，B恰好能在竖直平面内完成圆周运动，在最高点时，由重力提供向心力，列式求出最高点速度，再由机械能守恒求出碰撞结束的瞬间B的速度．
（2）对于碰撞过程，运用动量守恒和能量守恒求碰撞前A的速度．
（3）碰撞结束的瞬间，根据牛顿第二定律求绳子的拉力．

解答 解：（1）B球在最高点时，有 m_Bg=m_B$\frac{{v}^{2}}{L}$，v=$\sqrt{gL}$=2m/s
碰撞后B球从最低点到最高点的过程，由机械能守恒得 $\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}$+2mgL
解得碰撞后B的速度 v_B=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{5×10×0.4}$=2$\sqrt{5}$m/s
（2）碰撞过程，取向右为正方向，根据动量守恒得：
  m_Av=m_Av_A+m_Bv_B；
由机械能守恒得
  $\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
联立解得 v=$\frac{（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{B}}{2{m}_{A}}$=$\frac{（1+0.5）×2\sqrt{5}}{2×1}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$m/s
（3）碰撞结束的瞬间，对B球，由牛顿第二定律得 T-m_Bg=m_B$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
解得绳子的拉力 T=6m_Bg=6×0.5×10N=30N
答：
（1）碰撞结束的瞬间B的速度是2$\sqrt{5}$m/s；
（2）碰撞前A的速度是$\frac{3\sqrt{5}}{2}$m/s；
（3）碰撞结束的瞬间，绳子的拉力是30N．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律及向心力公式的直接应用，要求同学们能在最高点对摆球进行正确的受力分析，掌握临界条件，知道弹性碰撞遵守两大守恒：动量守恒和机械能守恒．