图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN和M′N′是间距为h的两平行极板.其上分别有正对的两个小孔O和O′.O′N′=ON=d.P为靶点.O′P=kd．极板间存在方向向上的匀强电场.两极板间电压为U．质量为m.带电量为q的正离子从O点由静止开始加速.经O′进入磁场区域．当离子打到极板上O′N′区域或外壳上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN和M′N′是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和O′，O′N′=ON=d，P为靶点，O′P=kd（k为大于1的整数）．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U．质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O′进入磁场区域．当离子打到极板上O′N′区域（含N′点）或外壳上时将会被吸收．两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过．忽略相对论效应和离子所受的重力．求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小；
（2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到P点的能量最大的离子在磁场汇总运动的时间和在电场中运动的时间．

分析（1）对直线加速过程，根据动能定理列式；对在磁场中圆周运动过程，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；最后联立求解即可；
（2）为了使离子打到P点，粒子可以加速1次、2次、3次、…，对加速过程根据动能定理列式，对在磁场中圆周运动过程根据牛顿第二定律列式；要考虑临界条件，一次加速后要达到虚线区域；
（3）打到P点的能量最大的离子加速次数最大；在电场向上中是匀加速全程根据动量定理求解时间；在磁场中是匀速圆周运动，根据t=$\frac{α}{2π}T$求解时间．

解答解：（1）在电场中的直线加速过程，根据动能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
在磁场中，根据牛顿第二定律，有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{\frac{kd}{2}}$ ②
联立解得磁感应强度大小：
B=$\frac{{2\sqrt{2Uqm}}}{qkd}$ ③
（2）在电场中的第一次直线加速过程，根据动能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ④
在磁场第一次圆周运动过程中，根据牛顿第二定律，有：
$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$ ⑤
其中：${r}_{1}＞\frac{d}{2}$ ⑥
离子经过电场加速n次后能打到P点，则：
在电场中的前n次直线加速过程，根据动能定理，有：
nqU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ⑦
在磁场中第n次圆周运动过程，根据牛顿第二定律，有：
$qvB=m\frac{v^2}{r_n}$ ⑧
其中：${r_n}=\frac{kd}{2}$ ⑨
联立解得：B=$\frac{2\sqrt{2nUqm}}{qkd}$（n=1，2，3，4，…，k²-1）⑩
（3）在电场中n次运动都是加速，可以当作一个匀加速直线运动进行考虑；
根据⑩式，最大速度为：v=$\sqrt{\frac{2nqU}{m}}$
根据动量定理，有：q$\frac{U}{h}$t=mv
打到P点的能量最大的离子加速次数最大，为：
n=k²-1
联立解得：
t=h$\sqrt{\frac{{2（{k^2}-1）m}}{Uq}}$
在磁场中做圆周运动，为（n-$\frac{1}{2}$）圈，即（k²-$\frac{3}{2}$）圈；
周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$
根据⑨式，B_n=$\frac{2\sqrt{2（{k}^{2}-1）Uqm}}{qkd}$
故在磁场中的运动时间为：
t′=（k²-$\frac{3}{2}$）T
联立解得：
t′=$\frac{（2{k}^{2}-3）πmkd}{2\sqrt{2Uqm（{k}^{2}-1）}}$
答：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小为$\frac{2\sqrt{2Uqm}}{qkd}$；
（2）能使离子打到P点的磁感应强度磁感应强度的可能值为：$\frac{{2\sqrt{2nUqm}}}{qkd}$（n=1，2，3，4，…，k²-1）；
（3）在磁场中运动的时间为$\frac{{（2{k^2}-3）πmkd}}{{2\sqrt{2Uqm（{k^2}-1）}}}$；在电场中运动的时间为h$\sqrt{\frac{{2（{k^2}-1）m}}{Uq}}$．