题目内容
8．
如图所示，水平地面上固定一木板，小滑块A质量为m，带电量为+q，与木板之间没有摩擦力；小滑块B质量为3m，不带电，与木板之间的摩擦因数μ=0.5；木板左边界MN和PQ之间的距离为l，其间存在匀强电场，电场强度E满足qE=mg．B静止在边界PQ处，将A从木板左端静止释放，此后A、B会发生碰撞，每次碰撞均为弹性碰撞，且碰撞前后A、B的电量保持不变，A、B均可视为质点，重力加速度为g．（1）求第一次碰撞结束时A、B各自的速度；
（2）如木板足够长，求A在电场中运动的总时间：
（3）如木板总长度为$\frac{105}{64}l$，求A、B发生碰撞的次数．
分析 （1）由动能定理求出滑块A第一次刚离开电场时速度．A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒结合求解第一次碰撞结束时A、B各自的速度；
（2）第一次碰撞结束后，B向右减速至0，A先向左匀减速再反向匀加速，由牛顿第二定律和速度公式求出B减速运动的时间和A在电场中运动的时间．B减速运动的时间总是与A在电场中运动的时间相等，即每次都是A追上静止的B发生弹性碰撞，分析A在电场中运动的规律，再得到总时间．
（3）先由速度位移公式求出第一次碰撞后B向右匀减速的位移，根据速度关系分析B每次向右匀减速的位移，再结合几何关系求解．
解答 解：（1）滑块A第一次刚离开电场时速度为v0，由动能定理得
qEl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
又 qE=mg，则 v0=$\sqrt{2gl}$
A、B发生弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒有
mv0=mvA1+3mvB1；
由能量守恒得
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A1}^{2}$+$\frac{1}{2}•3m{v}_{B}^{2}$
可得 vA1=-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向左；vB1=$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向右
（2）然后B向右减速至0，减速运动的加速度为 a=μg，用时 tB1=$\frac{{v}_{B1}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
A先向左匀减速再反向匀加速，在电场时间为 tA1=2$\frac{m|{v}_{A1}|}{qE}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$，再匀速追上B
发生下一次弹性碰撞，由上述分析可知，B减速运动的时间总是与A在电场中运动的时间相等，即每次都是A追上静止的B发生弹性碰撞，由碰撞可知，每次碰撞后A的速度大小满足：
vA2=$\frac{1}{2}{v}_{A1}$，…vAn=$\frac{1}{2}{v}_{An-1}$
在电场中的时间也有 tA2=$\frac{1}{2}{t}_{A1}$，…，tAn=$\frac{1}{2}{t}_{A（n-1）}$
则在电场中向左减速再反向加速的总时间 t′=$\frac{{t}_{A1}}{1-\frac{1}{2}}$=2tA1=$\frac{2{v}_{0}}{g}$=2$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
第一次从电场左端到右端的时间为 tA0=$\frac{l}{2{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2l}{qE}m}$=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
则A在电场中运动的总时间 tA=tA0+t′=3$\sqrt{\frac{2l}{g}}$
（3）第一次碰撞后B向右匀减速的位移为 sB1=$\frac{{v}_{B1}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g}$=$\frac{1}{2}l$
由于每次碰撞后B的速度为碰撞前A的速度的一半，也即为前一次B自己速度的一半，因此每次向右匀减速的位移为前一次的$\frac{1}{4}$，即sBn=$\frac{1}{4}$sB（n-1）
如果A、B能发生n次碰撞，则B在右侧运动的总位移为 sB=$\frac{105}{64}$l-l=$\frac{41}{64}$l应满足：
sB1+sB2+…+sB（n-1）＜sB＜sB1+sB2+…+sBn；
由此可得 n=3
或者 sB1=$\frac{1}{2}$l，sB2=$\frac{1}{8}$l，sB3=$\frac{1}{32}$l
sB1+sB2=$\frac{5}{8}$l，sB1+sB2+sB3=$\frac{21}{32}$l
由此可得两次碰后B还没有掉下去，三次碰后总位移大小sB，已经掉下去了，即碰3次．
答：
（1）第一次碰撞结束时A、B各自的速度分别为-$\frac{1}{2}{v}_{0}$=-$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向左和$\frac{1}{2}\sqrt{2gl}$，方向向右；
（2）如木板足够长，A在电场中运动的总时间为3$\sqrt{\frac{2l}{g}}$：
（3）如木板总长度为$\frac{105}{64}l$，A、B发生碰撞3次．
点评 本题首先要正确分析两个物体的运动情况，运用动量守恒、动能定理和运动学公式结合分析位移和时间规律，同时要运用归纳法求解总时间．
${\;}_{92}^{238}$U放射性衰变有多种可能途径，其中一种途径是先变成${\;}_{83}^{210}$Bi，而${\;}_{83}^{210}$Bi可以经一次衰变变成${\;}_{a}^{210}$X（X代表某种元素），也可以经一次衰变变成${\;}_{81}^{b}$Ti，${\;}_{a}^{210}$X和${\;}_{81}^{b}$Ti最后都变成${\;}_{82}^{206}$Pb，衰变路径如图所示，则（ ）| A． | a=82，b=211 | |
| B． | ${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{a}^{210}$X是β衰变，${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{81}^{b}$Ti是α衰变 | |
| C． | ${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{a}^{210}$X是α衰变，${\;}_{83}^{210}$Bi→${\;}_{81}^{b}$Ti是β衰变 | |
| D． | ${\;}_{81}^{b}$Ti经过一次β衰变变成${\;}_{82}^{206}$Pb |
两个点电荷位于x轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x轴上各点的电势如图中曲线所示．电势为零的点的坐标x0，电势为极小值-Φ0的点的坐标为ax0（a＞2）．（已知点电荷的电场中各点的电势Φ=k$\frac{Q}{r}$，式中Q为点电荷的电量，r为距点电荷的距离）根据图线提供的信息，以下说法正确的是（ ）| A． | 可以确定这两个点电荷必为异种电荷 | |
| B． | 可以求出这两个点电荷的电量大小 | |
| C． | 可以求出这两个点电荷在x轴上的位置坐标 | |
| D． | 可以确定x轴上各点的电场强度均沿+x方向 |
如图所示，平直长木板倾斜放置，小木块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小．先让物块从A端由静止释放滑到B端；然后，将木板A端着地，使木板的倾角与前一次相同，再让物块从B端由静止释放滑到A端．上述两个过程相比较，下列说法正确的是（ ）| A． | 前一过程中，系统因摩擦产生的热能较少 | |
| B． | 两个过程中，物块滑到底端时的速度相同 | |
| C． | 后一过程中，物块从顶端滑到底端时，可能先做加速运动后做减速运动 | |
| D． | 后一过程中，物块从顶端滑到底端的时间较短 |
如图，光滑水平面上有大小相同的小球A和B，A的质量为1kg，B的质量为0.5kg．B用一长为0.4m的细绳悬挂在O点，并与水平面刚好接触，但没有作用力，现给A一定的初速度v，使其向右运动并与B发生弹性碰撞，碰撞B恰好能在竖直平面内完成圆周运动，求：
如图所示，用力F推大板B，使叠放在一起的A，B一起沿桌面向右匀速运动，直到木板翻离桌面，则该过程中（ ）| A． | A，B间一定有摩擦力作用 | |
| B． | B与桌面间一定有摩擦力作用 | |
| C． | 力F逐渐变小 | |
| D． | 若用力F推A，使A，B一起沿桌面向右匀速运动，则F有可能变小 |
如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y=0.1sin（2.5πt）m．t=0时刻，一小球从距物块h高处自由落下：t=0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g=10m/s2．以下判断正确的是（ ）| A． | h=1.7m | |
| B． | 简谐运动的周期是0.8s | |
| C． | 0.6s内物块运动的路程是0.2m | |
| D． | t=0.4s时，物块与小球运动方向相反 |
如图所示，一小滑块沿着倾角为θ=37°的斜面从底端开始以v0=10m/s的初速度上滑（斜面足够长），已知小滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，小滑块的质量为m=1kg，斜面的质量为M=2kg，在整个运动过程中斜面始终保持静止，求：