题目内容

1．如图所示，平行板电容器板长和板距均为2L，电容器右侧存在有竖直边界且垂直纸面的两个有界的匀强磁场，垂直纸面向外的为匀强磁场I，垂直纸面向里的为匀强磁场Ⅱ，OQ连线的延长线到两极板距离相等，其中0M=MP=L．一质量为m、带电荷量为-q的带电粒子从上极板边缘处以速度v0沿水平方向射入，恰好经过O处射入区域Ⅰ，又从M点射出区域Ⅰ（粒子的重力不计）．
（1）求两极板间匀强电场场强E的大小；
（2）求区城Ⅰ内匀强磁场磁感应强度B的大小；
（3）若带电粒子能再次回到原点O，问区域Ⅱ内磁场的宽度d至少为多少？粒子两次经过原点O的时间间隔为多少？

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度大小．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹，应用牛顿第二定律求出磁场的宽度，根据粒子在磁场中做圆周运动的周期，然后根据粒子运动过程求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：2L=v0t，
竖直方向：L=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t2，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：2L=v0t，
离开电场时：vy=at=$\frac{qE}{m}$t=v0，
粒子离开电场时：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v0，方向：与水平方向成45°角，
粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可知：L2=r2+r2，粒子轨道半径：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）①粒子离开磁场Ⅰ后做匀速直线运动，然后进入磁场Ⅱ做匀速圆周运动，
带电粒子能再次回到原点O，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得：R=$\frac{L}{sin45°}$=$\sqrt{2}$L，
磁场Ⅱ的最小宽度为d，则：d=R+Rsin45°，
解得：d=（1+$\sqrt{2}$）L；
②粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动转过的圆心角：α=90°，
粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动转过的圆心角：β=270°，
粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的周期：T1=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πL}{{v}_{0}}$，
粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的周期：T2=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$，
粒子在两磁场间做匀速直线运动，离开Ⅰ进入Ⅱ过程的运动时间：t′=$\frac{s}{v}$=$\frac{\frac{L}{sin45°}}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
粒子两次经过原点O的时间间隔为：t=2t1+2t′+t2=2×$\frac{α}{360°}$T1+2t′+$\frac{β}{360°}$T2=$\frac{2πL+2L}{{v}_{0}}$；
答：（1）两极板间匀强电场场强E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）区城Ⅰ内匀强磁场磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）若带电粒子能再次回到原点O，区域Ⅱ内磁场的宽度d至少为（1+$\sqrt{2}$）L，粒子两次经过原点O的时间间隔为$\frac{2πL+2L}{{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律、粒子在磁场做做圆周运动的周期公式可以解题．

练习册系列答案
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