题目内容
13．
如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨，间距d=2m，Ⅰ区为一段弧形、Ⅱ区为放在桌面上的水平部分、Ⅲ区为倾斜部分，各交接处均平滑连接，仪Ⅱ、Ⅲ区存在方向垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，且B1=B2=0.2T．现有一质量m=0.02kg、电阻r=1Ω的金属杆ab，在导轨上距桌面h=0.8m的高度处由静止释放，离Ⅱ区后通过一特 殊转向装置 （图上未标出），随即进入Ⅲ区后恰能匀速下滑，不计各交接处的能所损失，电阻R=3Ω，倾角θ=37°，g=10m/s2 （sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：（1）金属杆刚进入磁场时，电阻R两端电压大小；
（2）经过II区过程中电阻R产生的热量；
（3）Ⅱ区的磁场宽度x．
分析 （1）金属杆在Ⅰ区运动时，根据动能定理求出金属杆进入磁场Ⅱ时的速度，通过切割产生的感应电动势公式求出感应电动势的大小，结合电路的结构求得电阻R两端电压．
（2）金属杆进入Ⅲ区后恰能匀速下滑，由平衡条件和安培力与速度的关系式，求解金属杆在Ⅲ区运动的速度．根据能量守恒定律求出整个过程中回路产生的热量，从而得出经过II区过程中电阻R产生的热量．
（3）根据牛顿第二定律和加速度的定义式得到加速度瞬时加速度的表达式，运用积分法求解Ⅱ区的磁场宽度x．
解答 解：（1）金属杆在Ⅰ区运动时，根据动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv12-0
可得金属杆刚进入Ⅱ区时的速度：v1=4m/s．
感应电动势的大小为：E1=B1dv1=0.2×2×4V=1.6V
电阻R两端电压大小 U=$\frac{R}{R+r}$E1=$\frac{3}{3+1}$×1.6V=1.2V
（2）金属杆进入Ⅲ区后恰能匀速下滑，由平衡条件有
F安=mgsin37°
又 E2=B2dv2，I2=$\frac{{E}_{2}}{R+r}$，F安=B2dI2=$\frac{{B}_{2}^{2}{d}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
联立解得，金属杆在Ⅲ区运动的速度 v2=3m/s
金属杆经过II区过程中整个电路产生的总热量 Q=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
电阻R产生的热量 QR=$\frac{R}{R+r}$Q
代入数据解得 QR=5.25×10-2J
（3）金属杆在Ⅱ区运动过程中所受的安培力 F安=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v}{R+r}$
金属杆的加速度 a=$\frac{{F}_{安}}{m}$
根据加速度的定义有 a=$\frac{△v}{△t}$，即得△v=a△t
整理可得△v=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v△t}{m（R+r）}$
对等式两边求和得 $\sum_{\;}^{\;}$△v=$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v△t}{m（R+r）}$
又 $\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}{m（R+r）}$v△t=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}{m（R+r）}$x
则得 v1-v2=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}{m（R+r）}$x
代入数据解得 x=0.5m
答：
（1）金属杆刚进入磁场时，电阻R两端电压大小是1.2V；
（2）经过II区过程中电阻R产生的热量是5.25×10-2J；
（3）Ⅱ区的磁场宽度x是0.5m．
点评 本题考查了电磁感应与电路和能量的综合，关键要根据法拉第定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，运用积分法研究非匀变速运动的位移，其关键式子是牛顿第二定律和加速度的定义式．
名师点睛字词句段篇系列答案| A． | 质量、速度．时间 | B． | 质量、路程、力 | ||
| C． | 位移、速度、加速度 | D． | 时间、加速度、路程 |
一根光滑的绝缘直杆与水平面成α=30°角倾斜放置，其BC部分在水平向右的匀强电场中，电场强度E=2×104N/C，在细杆上套一个电荷量q=$\sqrt{3}$×10-5C带负电的小球，其质量m=3×10-2kg．今使小球从静止起沿杆下滑，从B点进入电场，如图，已知AB=S1=1m，试问
如图所示，一个很长的光滑导体框倾斜放置，顶端接有一个灯泡，匀强磁场垂直于线框所在平面，当跨放在导轨上的金属棒ab下滑达稳定速度后，小灯泡获得一个稳定的电功率，除小灯泡外其他电阻均不计，则若使小灯泡的电功率提高一倍，下列措施可行的是（ ）| A． | 换用一个电阻为原来2倍的小灯泡 | B． | 将金属棒质量增为原来的2倍 | ||
| C． | 将导体框宽度减小为原来的一半 | D． | 将磁感应强度减小为原来的$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
如图所示，电阻忽略不计的，两根平行的光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值为3Ω的电阻R．在水平虚线L1、L2间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d=0.5m．导体棒a的质量ma=0.2kg、电阻Ra=3Ω；导体棒b的质量mb=0.1kg、电阻Rb=6Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始沿导轨无摩擦向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时a正好进入磁场．已知金属棒始终与导轨接触良好且导轨足够长，设重力加速度为g=10m/s2，（不计a、b之间的作用）求：
如图所示，平行粗糙金属导轨与水平面间夹角均为θ=37°，导轨间距为L=lm，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒ab和a′b′的质量都是m=0.2kg，电阻都是R=1Ω，与导轨垂直放置且接触良好，金属棒ab和导轨之间的动摩擦因数为μ=0.25，金属棒ab导轨平面存在着垂直轨道平面向上的匀强磁场，金属棒a′b′导轨平面存在着竖直向上的匀强磁场，磁感应强度均为B=0.4T，金属棒a′b′始终静止在导轨上，将金属棒ab由静止释放．求：
如图所示，空间存在一放向竖直向下、大小为E的匀强电场．一质量为m、带电荷量为+q的小球，用长为L的绝缘细线悬于O点，现将小球向左拉至细线呈水平张紧状态并由静止释放，小球将在竖直平面内做圆周运动．求：
半径为r的光滑绝缘圆环固定在竖直面内，并处于水平向右的匀强电场中，环内侧有一个质量为m的带电小球，静止时，它和圆环中心O的连线与竖直方向的夹角为37°（如图所示）．