Question

13．如图所示，一个质量为m、电阻不计，足够长的光滑U形金属框架MNPQ，位于光滑水平桌面上，分界线OO′分别与平行导轨MN和PQ垂直，两导轨相距L，在OO′的左右两侧存在着区域很大、方向分别为竖直向上和竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B，另有质量也为m的金属棒CD，垂直于MN放置在OO′左侧导轨上，并用一根细线系在定点A．已知，细线能承受的最大拉力为T₀，CD棒接人导轨间的有效电阻为R，现从t=0时刻开始对U形框架施加水平向右的拉力F，使其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动．
（1）求从框架开始运动到细线断裂所需的时间t₀；
（2）若细线尚未断裂，求在t时刻水平拉力F的大小；
（3）若在细线断裂时，立即撤去拉力F，求此时线框的瞬时速度v₀和此后过程中回路产生的总焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）ab棒向右做匀加速运动进，穿过回路abcd的磁通量增大，回路中产生感应电动势和感应电流，cd受到向右的安培力作用，当安培力大小等于细线的最大拉力时，细线被拉断．根据 E=BLv、F=BIL，$v=a{t}_{0}^{\;}$，推导出安培力F的表达式，根据$F={T}_{0}^{\;}$，即可求得${t}_{0}^{\;}$；
（2）在细线尚未断裂时，对框架运用牛顿第二定律可求出F的表达式
（3）根据系统动量守恒求得匀速运动时的速度，根据能量守恒求解回路总共产生的电热．

解答 解：（1）设绳被拉断时回路中的电流为I，设拉断时框架NQ中电动势为E，速度为v，运动时间为t，则
E=BLv
$I=\frac{E}{R}$
$v=a{t}_{0}^{\;}$
cd棒所受的安培力为F=BIL
联立解得${F}_{安}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}$
细线即将拉断时，对cd有：${T}_{0}^{\;}={F}_{安}^{\;}$
解得${t}_{0}^{\;}=\frac{{T}_{0}^{\;}R}{a{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
（2）对框架，根据牛顿第二定律，有$F-{F}_{安}^{\;}=ma$
解得$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}+ma$
（3）在细线断裂时，立即撤去拉力F，求此时线框的瞬时速度v₀
${v}_{0}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{T}_{0}^{\;}R}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$，
根据动量守恒，最终棒和框架速度均为v
$m{v}_{0}^{\;}=2mv$
解得$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
根据能量守恒定律得$Q=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$
联立以上各式得$Q=\frac{m{T}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{B}_{\;}^{4}{L}_{\;}^{4}}$
答：（1）从框架开始运动到细线断裂所需的时间为$\frac{{T}_{0}^{\;}R}{a{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$；
（2）若细线尚未断裂，在t时刻水平拉力F的大小$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}+ma$；
（3）若在细线断裂时，立即撤去拉力F，此时线框的瞬时速度$\frac{{T}_{0}^{\;}R}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$和此后过程中回路产生的总焦耳热Q为$\frac{m{T}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{B}_{\;}^{4}{L}_{\;}^{4}}$．

点评 本题是电磁感应与力学、闭合电路欧姆定律等知识的综合题，重点在于分析导体棒和框架的受力和运动情况，求焦耳热通常根据能量守恒定律求解．