Question

8．滑雪运动是把滑雪板装在靴底上在雪地上进行速度、跳跃和滑降的竞赛运动．滑雪运动中当滑雪板相对雪地速度较大时，会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．然而当滑雪板相对雪地速度较小时，与雪地接触时间超过某一值就会陷下去，使得它们间的摩擦力增大．假设滑雪者的速度超过8m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ₁=0.25变为μ₂=0.125．一滑雪者从倾角θ=37°的坡顶A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平地面，最后停在C处，如图所示．不计空气阻力，已知坡长L=24.1m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数μ₃=0.5，求滑雪者在水平地面上运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度v₁=8m/s期间的加速度，再根据速度时间公式求出运动的时间．
（2）再根据牛顿第二定律求出速度大于8m/s时的加速度，球心速度为4m/s之前的位移，从而得出加速度变化后的位移，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出滑雪者到达B处的速度．
（3）由牛顿第二定律与运动学公式可以求出运动距离

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：a₁=g（sinθ-μ₁cosθ）=4m/s²，
滑行时间：t=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{8}{4}s$=2s，
x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×4×{2}^{2}m$=8m＜24.1m；
（2）由静止到动摩擦因素变化的位移：
x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×4×{2}^{2}m$=8m＜24.1m；
动摩擦因数变化后，由牛顿第二定律得：
a₂=g（sinθ-μ₂cosθ）=5m/s²，
x₂=L-x₁=24.1-8m=16.1m，
由 ${v}_{B}^{2}-{v}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$
得${v}_{B}=\sqrt{{v}^{2}+2×{a}_{2}{x}_{2}}=\sqrt{{8}^{2}+2×5×16.1}m/s$=15m/s，
达到B处速度为15m/s；
（3）在水平地面上做匀减速运动，根据牛顿第二定律知
做匀减速运动的加速度大小${a}_{3}={μ}_{3}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
根据速度位移关系可知，滑雪者通过的位移
${x}_{3}=\frac{0-{v}_{B}^{2}}{-2{a}_{3}}=\frac{0-1{5}^{2}}{-2×5}m=22.5m$．
答：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间为2s；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小为15m/s；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数μ₃=0.5，滑雪者在水平地面上运动的最大距离为22.5m．

点评 本题综合运用了牛顿第二定律、动能定理等规律，关键理清滑雪者的运动过程，正确地受力分析，运用牛顿定律或动能定理解题．