Question

13．设在地球上对准月球发射一枚飞行器．该飞行器离开地球表面不久燃料就用尽并达到最大速度，以后靠惯性飞向月球且到达了月球．设地球质量为M₁，月球质量为M₂，地球与月球的球心距离为L，不考虑地球自转及月球公转的影响，则当火箭离地球球心距离为$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$时，火箭的速度最小．

Answer 1

分析 飞行器无动力飞向月球时，受到地球引力和月球引力的作用，地球引力对其做负功，月球引力对其做正功，当地球引力大于月球引力时，合力做负功，飞行器动能减小，动能减小，若月球引力大于地球引力时，合力做正功，飞行器动能增大，速度增大．由此可知，飞行器速度最小时，地球引力与月球引力大小相等．

解答 解：由题意知，飞行器飞向月球时，当地球引力与月球引力大小相等时，飞行器的速度最小，令此时飞行器距地球距离为x，则飞行器距月球距离为L-x，根据万有引力定律有：
$G\frac{{M}_{1}m}{{x}^{2}}=G\frac{{M}_{2}m}{（L-x）^{2}}$
由此解得：x=$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$
故答案为：$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$

点评 本题抓住飞行器无动力飞行，合外力做正功飞行器的速度增大，合外力做负功飞行器的速度减小，由于飞行器从地球起飞，故开始时地球引力大于月球引力，合外力做负功，动能减小，速度减小，据此得到速度最小时的临界条件是地球和月球对其的引力大小相等．