Question

2．相距很近的平行板电容器，在两板中心各开有一个小孔，如图甲所示，靠近A板的小孔处有一电子枪，能够持续均匀地发射出电子，电子的初速度为v₀，质量为m，电量为-e，在AB两板之间加上如图乙所示的交变电流，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$；紧靠B板的偏转电压也等于U₀，板长为L两极板间距为d，距偏转极板右端$\frac{L}{2}$处垂直放置很大的荧光屏PQ，不计电子的重力和它们之间的相互作用，电子在电容器中的运动时间可以忽略不计．

（1）试求在0～kT与kT～T时间内射出B板电子的速度各是多大？
（2）在0～T时间内，荧光屏上有两个位置会发光，试求这两个发光点之间的距离．（结果又L、d表示）

Answer 1

分析 （1）对直线加速过程，根据动能定理列式求解电子的速度；
（2）在0-kT时间内，根据动能定理求出电子穿出B板后的速度，在偏转电场中，电子做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式得到偏转距离．根据推论：电子射出偏转电场后，好像从“中点射出”，得到打在荧光屏上的坐标．再运用同样的方法求出在kT-T 时间内，电子打在荧光屏上的坐标，即可求得这两个发光点之间的距离．

解答 解：（1）电子经过电容器内的电场后，速度要发生变化，设在0-kT时间内，穿出B板后速度为ν₁，kT-T时间内射出B 板电子的速度ν₂．
据动能定理有：
-eU₀=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
   eU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
将U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$代入上式，得：
 ν₁=$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}}{m}}$
 v₂=$\sqrt{\frac{8e{U}_{0}}{m}}$
（2）在0-kT时间内射出 板电子在偏转电场中，电子的运动时间：t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$
侧移量：y₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{e{U}_{0}}{md}•\frac{{L}^{2}}{{v}_{1}^{2}}$，
得：y₁=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
打在荧光屏上的坐标为y₁′，则：y₁′=2y₁=$\frac{{L}^{2}}{4d}$
同理可得在kT-T时间内设穿出B板后电子侧移量：y₂=$\frac{{L}^{2}}{16d}$
打在荧光屏上的坐标：y₂′=2y₂=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
故两个发光点之间的距离：△y=y₁′-y₂′=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
答：（1）在0～kT与kT～T时间内射出B板电子的速度各是$\sqrt{\frac{4e{U}_{0}}{m}}$和$\sqrt{\frac{8e{U}_{0}}{m}}$．
（2）这两个发光点之间的距离是$\frac{{L}^{2}}{8d}$．

点评 本题利用带电粒子在匀强电场中的类平抛运动及其相关知识列方程进行解答，关键要分析出临界条件和隐含的条件．