Question

4．如图所示，质量为M，半径为R的铁环放在光滑的平面上，另有质量为m的小铁球，以初速v₀从O出发，而OO′=$\frac{R}{2}$，则经过多长时间小球将与铁环发生第N次弹性碰撞？

Answer 1

分析 小球与铁环碰撞过程动量守恒，把小球的速度分解为沿圆的切线方向的分速度和沿法线方向的分速度，碰撞过程遵守反射定律，分析清楚小球的运动过程，应用动量守恒定律与运动学公式求出运动时间．

解答 解：由几何知识可知：α=30°，
小球在A点的速度分解：v₁=v₀cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀，v₂=v₀sinα=$\frac{1}{2}$v₀，
v₁是铁环与铁球在OA方向的相对速度，碰撞后的相对速度：v′=v₁，沿AO的反方向，v₂不变，
以圆环为参考系，碰后小球的合速度方向沿AB方向，AB方向满足：∠O′AO=∠OAB，
即小球与铁环发生弹性碰撞时，在碰撞点小球的反射角等于入射角，
由此可知：∠O′AB=2∠O′AO=2α=60°，
小球在B点和圆环碰撞后仍满足反射角等于入射角，碰后沿BC方向运动，
在C点碰撞后情况相同，小球以圆环为参考系，将在一个等边三角形ABC的三边上以初速度v₀运动，
从出发开始，经过：t₁=$\frac{\frac{l}{2}}{{v}_{0}}$第一次碰撞，l为三角形的边长，l=2Rcosα=$\sqrt{3}$R，
由此可知，第1次、第2次、…第N次碰撞时刻为：t₁=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$，
t₂=t₁+$\frac{l}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{3}R}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2×2-1）$\frac{R}{{v}_{0}}$，
…
t_n=$\frac{\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R（2N-1）；
答：经过时间$\frac{\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R（2N-1）小球将与铁环发生第N次弹性碰撞．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，本题难度很大，分析清楚运动过程是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用速公式求出时间，解题时要注意反射定律的应用、注意数学归纳法的应用．