Question

4．如图为近代物理实验室中研究带电粒子的一种装置．带正电的粒子从容器A下方的小孔S不断飘入电压为U的加速电场，经过S正下方的小孔O后，沿SO方向垂直进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，最后打在相机底片D上并被吸收．已知D与O在同一平面内，粒子在D上的落点到O的距离为x，不考虑粒子重力和粒子在小孔S处的速度．
（1）求粒子的比荷；
（2）由于粒子间存在相互作用，从O进入磁场的粒子在纸面内将发生不同程度的微小偏转，其方向与竖直方向的最大偏角为α，若粒子速度大小相同，求粒子在D上的落点到O的距离范围；
（3）实际上，加速电场的电压也会发生微小变化（设电压变化范围为U±△U），从而导致进入磁场的粒子的速度大小也有所不同．现从容器A中飘入的粒子电荷量相同但质量分别为m₁、m₂（m₁＞m₂），最终均能打在D上，若要使这两种粒子的落点区域不重叠，则△U应满足什么条件？（粒子进入磁场时的速度方向与竖直方向的最大偏角仍为α）

Answer 1

分析 （1）设离子经电场加速度时的速度为v，由动能定理及向心力公式即可求解；
（2）根据半径公式求出粒子在磁场中运动的半径，根据几何关系，确定出粒子在D上的落点与O的距离范围；
（3）根据最大加速电压U+△U，得出落到O点的最大距离，以及根据最小加速电压得出落到O点的最小距离，要使落点区域不重叠，则应满足：L_1min＞L_2max，从而求出△U应满足的条件．

解答 解：（1）沿SO方向垂直进入磁场的粒子，最后打在照相底片D的粒子；
粒子经过加速电场：qU=$\frac{1}{2}$mv²             
洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
落点到O的距离等于圆运动直径：x=2R          
所以粒子的比荷为：$\frac{q}{m}$=$\frac{8U}{{B}^{2}{x}^{2}}$       
（2）粒子在磁场中圆运动半径R=$\frac{\sqrt{2qmU}}{qB}$=$\frac{x}{2}$
由图象可知：粒子左偏θ角（轨迹圆心为O₁）或右偏θ角（轨迹圆心为O₂）
落点到O的距离相等，均为L=2Rcosθ     
故落点到O的距离
最大：L_max=2R=x                  
最小：L_min=2Rcosα=xcosα              
所以：xcosα≤L≤x
（3）①考虑同种粒子的落点到O的距离；
当加速电压为U+△U、偏角θ=0时，距离最大，
L_max=2R_max=$\frac{2}{Bq}\sqrt{2qm（U+△U）}$ 
当加速电压为U-△U、偏角θ=α时，距离最小
L_min=2R_min cosα=$\frac{2}{Bq}\sqrt{2qm（U-△U）}$cosα   
②考虑质量不同但电荷量相同的两种粒子
由R=$\frac{\sqrt{2qmU}}{qB}$和 m₁＞m₂，知：R₁＞R₂
要使落点区域不重叠，则应满足：L_1min＞L_2max
$\frac{2}{Bq}\sqrt{2q{m}_{1}（U-△U）}$cosα＞$\frac{2}{Bq}\sqrt{2q{m}_{2}（U+△U）}$
解得：△U＜$\frac{{m}_{1}co{s}^{2}α-{m}_{2}}{{m}_{1}co{s}^{2}α+{m}_{2}}$U．                  
（应有条件m₁cos²α＞m₂，否则粒子落点区域必然重叠）
答：（1）粒子的比荷为$\frac{8U}{{B}^{2}{x}^{2}}$；
（2）粒子在D上的落点到O的距离范围为xcosα≤L≤x；
（3）△U应小于$\frac{{m}_{1}co{s}^{2}α-{m}_{2}}{{m}_{1}co{s}^{2}α+{m}_{2}}$U．

点评 本题主要考查了动能定理及向心力公式的直接应用，要求同学们知道要使两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠，应满足：L_1min＞L_2max．