Question

9．如图甲所示，电动机通过绕过光滑定滑轮的细绳与放在倾角为30^°的光滑斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升；在0～3s时间内物体运动的v-t图象如图乙所示，其中除1～2s时间段图象为曲线外，其余时间段图象均为直线，1s后电动机的输出功率保持不变；已知物体的质量为2kg，重力加速度g=10m/s²．求

（1）1s后电动机的输出功率P
（2）物体运动的最大速度v_m
（3）在0-3s内电动机所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间图线得出0-1s内的加速度，结合牛顿第二定律求出牵引力的大小，根据P=Fv求出1s后电动机的输出功率．
（2）当物体的加速度为零时，速度最大，根据平衡求出拉力，结合P=Fv求出最大速度．
（3）0-1s内，根据运动学公式和动能定理求出电动机做功的大小，1s后抓住功率不变，结合W=Pt求出电动机做功的大小，从而得出在0-3s内电动机所做的功．

解答 解：（1）设物体的质量为m，在时间t₁=1s内，做匀加速直线运动的加速度大小为a，1s末物体的速度大小达到v₁，此过程中，细线拉力的大小为F₁，
则根据运动学公式和牛顿第二定律可得：v₁=at₁
F₁-mgsin30°=ma，
其中由图象可知v₁=5m/s，
在1s末设电动机的输出功率为P，由功率公式可得：P=F₁v₁
联立解得：P=100W
（2）当物体达到最大速度v_m后，设细绳的拉力大小F₂，由牛顿第二定律和功率的公式可得：F₂-mgsin30°=0，
P=F₂v_m，
联立解得：v_m=10m/s
（3）在时间t₁=1s内，物体的位移为x，电动机做的功为W₁，则由运动公式及动能定理：
$x=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
${W}_{1}-mgxsin30°=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
设在时间t=3s内电动机做的功为W，则：
W=W₁+P（t-t₁），
代入数据联立解得：W=250J．
答：（1）1s后电动机的输出功率P为100W；
（2）物体运动的最大速度为10m/s；
（3）在0-3s内电动机所做的功为250J．

点评 本题与汽车起动类似，关键要分析清楚物体各段的运动规律以及力的变化情况，明确实际功率达到额定功率时匀加速运动结束，合力为零变加速运动结束．