Question

10．如图所示，倾角为α=600的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行，A与B的质量相同．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g=10m/s²．在B没有离开斜面的过程中，下列说法正确的是（可能用到的数学公式1-cosα=2sin²$\frac{α}{2}$）（　　）

• A． A、B组成的系统机械能守恒
• B． B的速度方向一定沿斜面向下
• C． A、B速度大小相等
• D． 当A滑动的位移为x=$\frac{5}{\sqrt{3}}$m时，A的速度大小v_A=5m/s²

Answer 1

分析 分析各力的做功情况，明确系统只有重力做功，机械能守恒；
同时分析物体的运动情况，明确二者运动的关系，根据运动的合成与分解，结合各自位移存在的几何关系，及三角知识，结合相似三角形，得出速度之比等于位移之比，从而求出AB速度的关系，并求出位移为x时的速度大小．

解答 解：A、由于细线的拉力看作内力，且左侧绳头处不做功，故系统只有重力做功，故AB组成的系统机械能守恒，故A正确；
B、两物体运动如图所示，由图可知，B不是沿斜面运动，故B错误；
C、撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动，根据运动的合成与分解，当A滑动的位移为x时，设B的位移大小s，依据几何关系有：

则有：s_x=x（1-cosα）
s_y=xsinα
且s=$\sqrt{{s}_{x}^{2}+{s}_{y}^{2}}$；
解得：s=x$\sqrt{2（1-cosα）}$=2xsin$\frac{α}{2}$；
因B的下降的高度为s_y=xsinα；
根据系统只有重力做功，机械能守恒定律，则有：
mgs_y=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²
如下图所示，画阴影部分的三角形相似，依据位移之比等于速度之比，

可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{x}{s}$
则有：v_B=v_A$\sqrt{2（1-cosα）}$=2v_Asin$\frac{α}{2}$
解得：v_A=$\sqrt{\frac{2gxsinα}{3-2cosα}}$=$\sqrt{\frac{2g×\frac{5}{\sqrt{3}}sin60°}{3-2cos60°}}$=5m/s，故CD正确．
故选：ACD．

点评 本题考查机械能守恒定律以及运动的合成和分解，能明确两者的运动关系，找出对应的运动轨迹，同时明确细线的拉力作为内力处理，绳头与左侧绳相连处没有位移，故拉力对系统不做功，系统机械能守恒．