Question

5．如图所示，BCDG是光滑绝缘的$\frac{3}{4}$圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为$\frac{3}{4}$mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g．
（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，求滑块到达与圆心O等高的C点时，受到轨道的作用力大小？
（2）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出，求滑块在圆轨道上滑行过程中的最小速度大小？
（3）在（2）问中，求s的大小？

Answer 1

分析 本题是电场的能量性质与圆周运动的综合问题：滑块从A点在电场力作用下做加速运动，然后冲上一$\frac{3}{4}$圆形轨道做圆周运动．
（1）冲到C点时，由动能定理求出C点的速度，从而求出向心力，而此刻轨道的支持与电场力的合力提供向心力，所以支持力就求出来了．
（2）使滑块恰好始终沿轨道滑行，则能滑到“最高点”--离合力方向最远处．这要求出合力的方向，找到在圆轨道的最高点，在最高点恰好由合力提供向心力，轨道无弹力．
（3）在第二问的基础上由动能定理求出开始滑行时距B点的距离．

解答 解：（1）A到C，由动能定理得：$F（S+R）-μmgS-mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$  （此方程可AB和BC两段列方程也能得相同结果）．
    而在C：$N-F=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$  
    解得：N=1.75mg                      
（2）电场力与重力的合力F′=$\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{3}{4}mg）^{2}}=\frac{5}{4}mg$     方向与竖直方向夹角$θ=arctg\frac{\frac{3}{4}mg}{mg}=37°$
   当合力F′恰好提供向心力时，速度最小$\frac{5}{4}mg=\frac{m{{v}_{min}}^{2}}{R}$               
   所以：${v}_{min}=\frac{\sqrt{5gR}}{2}$                                   
（3）从A到速度最小的点全程动能定理：
   qE（s-Rsin37°）-μmgs-mgR（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{min}}^{2}-0$          
   代入解得：s=11.5R                                            
答：（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心O等高的C点时，受到轨道的作用力大小为1.75mg．
（2）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出，滑块在圆轨道上滑行过程中的最小速度大小为$\frac{\sqrt{5gR}}{2}$．
（3）在（2）问中，s的大小是11.5R．

点评 圆周运动的问题往往求最高点或最低点的弹力问题，但此题由于滑块处于水平的电场中，所以例外的求滑块在最右边缘的速度，但这仍然是特殊点无多大难度．其次在回返轨道上滑行的最小速度，这可以类比于在重力场中速度最小在最高点，此题的“最高点”应从等效重力力--即合力方向来分析“最高点”的位置．