题目内容

3．如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路，线圈的半径为r，线圈处在垂直于线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，以垂直线圈平面向里为正，图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计，求：

（1）0至t0时间内通过电阻R1上的电流大小和方向；
（2）0至t1时间内通过电阻R1上的电量q及电阻R1上产生的热量．

分析 （1）由B-t图象的斜率读出磁感应强度的变化率$\frac{△B}{△t}$，由法拉第电磁感应定律求出线圈中产生的感应电动势，由欧姆定律求出感应电流的大小，由楞次定律判断出感应电流的方向．
（2）由公式q=It求出通过电阻R1上的电量q，由焦耳定律求出电阻R1上产生的热量．

解答 解：（1）由图象分析可知，0至t0时间内$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$
由法拉第电磁感应定律有E=n$\frac{△Φ}{△t}$=n$\frac{△B}{△t}$s
而s=πr2
由闭合电路欧姆定律有I1=$\frac{E}{R+2R}$
联立以上各式解得
通过电阻R1上的电流大小为
     I1=$\frac{nπ{r}^{2}{B}_{0}}{3R{t}_{0}}$
由楞次定律可判断通过电阻R1上的电流方向为从b到a．
（2）0至t1时间内电流的大小与方向都没变化；
根据题意，通过电阻R1上的电量q=I1t1=$\frac{nπ{r}^{2}{B}_{0}}{3R{t}_{0}}$t1； 
通过电阻R1上产生的热量为  Q=${I}_{1}^{2}{R}_{1}{t}_{1}$=$\frac{2{n}^{2}{B}_{0}^{2}{π}^{2}{r}^{4}{t}_{1}}{9R{t}_{0}^{2}}$
答：（1）0至t0时间内通过电阻R1上的电流大小$\frac{nπ{r}^{2}{B}_{0}}{3R{t}_{0}}$和方向从b到a；
（2）0至t1时间内通过电阻R1上的电量$\frac{nπ{r}^{2}{B}_{0}}{3R{t}_{0}}$t1及电阻R1上产生的热量$\frac{2{n}^{2}{B}_{0}^{2}{π}^{2}{r}^{4}{t}_{1}}{9R{t}_{0}^{2}}$．

点评 本题是法拉第电磁感应定律、欧姆定律、焦耳定律的综合应用，应用法拉第定律时要注意s是有效面积，并不等于线圈的面积．

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