题目内容
5．
如图所示，在坐标系xOy内有一半径为d的圆形区域，圆心坐标为O1（0，a），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在M、N之间的矩形区域（即x=2a，x=3a和y=0，y=2a所围成的区域）内有一沿+x方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子以速度v0从O点垂直于磁场沿+y轴方向射入，粒子恰好从A点射出磁场，A、O1两点的连线与x轴平行．（不计粒子重力）（1）求磁感应强度B的大小；
（2）为使粒子不从电场的右侧射出，则在M、N上加的电压至少应该多大？
（3）在（2）中若B和E保持不变，试证明：在xOy平面内，不论粒子以速率v从O点沿什么方向射入磁场，粒子在电场和磁场中运动的总时间是一个定值．
分析 （1）根据几何关系求出粒子在磁场中匀速圆周运动的半径，根据洛伦兹力提供向心力即可求出磁感应强度；
（2）根据动能定理求出MN间所加的电压；
（3）画出粒子运动的轨迹，根据求出粒子在电场和磁场中的时间，再求总时间；
解答 
解：（1）由于粒子在磁场中运动的半径为a，由圆周运动向心力知：$qvB=m\frac{{v}_{0}^{2}}{a}$
得出：$B=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qa}$
（2）根据动能定理知：$-qU=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得出：$U=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（3）证明：设带电粒子在进入磁场时，速度方向与x轴成θ角．由于带电粒子在磁场中运动的轨迹圆的半径与磁场区域的半径相同，因此$O{O}_{1}^{\;}{O}_{2}^{\;}E$四点连线形成一个菱形，${O}_{2}^{\;}E$的连线与y轴平行，故带电粒子在出磁场区域时速度方向与x轴平行．
带电粒子在磁场中运动的时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{θm}{Bq}$
带电粒子在进入电场时与电场的方向平行，因此在电场中运动的时间为
${t}_{2}^{\;}=2\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Eq}$
粒子从电场返回之后，再次在出磁场的位置进入磁场，方向沿x轴负向．同理可知，${O}_{1}^{\;}{O}_{2}^{\;}EF$为菱形．带电粒子在磁场中运动的时间为${t}_{3}^{\;}=\frac{αm}{Bq}$
根据几何关系可知θ+α=π
所以带电粒子在电场和磁场中运动的总时间为$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
代入得$t=\frac{πm}{Bq}+2\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Eq}$
与带电粒子射入磁场的方向无关，是一个定值．
答：（1）磁感应强度B的大小$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（2）为使粒子不从电场的右侧射出，则在M、N上加的电压至少为$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{2q}$
（3）证明见上
点评 解决此类问题的关键是灵活运用几何知识，在图象中作出粒子运动的轨迹，根据几何关系抓住粒子做圆周运动时洛伦兹力提供向心力展开讨论即可，本题很好的体现了运用数学知识解决物理问题的能力．
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小学生10分钟应用题系列答案
如图所示，轻质弹簧两端与质量分别为m1=1kg、m2=2kg的物块P、Q连在一起，将P、Q放在光滑的水平面上，靠墙、弹簧自然伸长时P静止在A点，用水平力F推P使弹簧压缩一段距离后静止，此过程中F做功4.5J，则撤去F后，求：
| A． | 质点振动的周期T=0.2 s | |
| B． | 波速v=20 m/s | |
| C． | 因为一个周期质点运动0.8 m，所以波长λ=0.8 m | |
| D． | 从该时刻起经过0.15 s，波沿x轴正方向传播了3 m | |
| E． | 从该时刻起经过0.25 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度 |
如图，在以O为圆心、半径R═10$\sqrt{3}$cm的圆形区域内，有一个方向垂直于纸面向外的水平匀强磁场．磁感应强度B=0.1T，两金属极板A、K竖直平行放置，A、K间的电压U=900V，S1、S2为A、K板上的两个小孔，且S1、S2跟O处于垂直极板的同一水平线上，在O点下方距离O点H=3R处有一块足够长的荧光屏D放置在水平面内，比荷为$\frac{q}{m}$=2.0×106C/kg的离子流由S1进入电场后，之后沿S2、O连线离开电场并随后射入磁场，通过磁场后落到荧光屏上．离子进入电场的初速度、离子的重力，离子之间的相互作用力均可忽略不计．
如图所示，在“用插针法测定玻璃的折射率”的实验中，一位同学已完成了部分实验操作，他在白纸上O点画出界面aa′的法线MN，并画出一条带箭头的线段AO作为入射光线．在入射光线上竖直地插上两枚大头针P1、P2，透过玻璃砖观察大头针P1、P2的像，在P3位置插的大头针正好挡住P1、P2的像，在P4位置插的大头针正好挡住大头针P3和大头针P1、P2的像．根据n=$\frac{sini}{sinr}$可计算出玻璃的折射率，请你在图中完成整个光路图，并标出入射角i和折射角r．
如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的无限大匀强磁场，质量为m、电荷量为+q的粒子1在纸面内以速度v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α=30°；质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子2在纸面内也从O点沿相同的方向射入磁场，其速度大小也为v0．已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点离开磁场（图中未画出），不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：
在用插针法“测定玻璃的折射率”的实验中，某同学用半圆形玻璃砖完成实验．如图所示，该同学先在平铺的白纸上画出直线MN，放好玻璃砖（图中实线部分），并在玻璃砖的一侧垂直纸面插上大头针G1、G2，以确定入射光线，让入射光线通过玻璃砖的圆心0；在玻璃砖的另一侧进行观察，调整视线，同时垂直纸面插上大头针G3，使G3挡住G1、G2的像；取走玻璃砖，标出大头针的位置，连接OG3．图中MN为分界面，虚线半圆与玻璃砖对称，B、C分别是入射光线、折射光线与圆的交点，AB、CD均垂直于法线并分别交法线于A、D点．设AB的长度为L1，AO的长度为L2，CD的长度为L3，DO的长度为L4，为较方便地表示出玻璃砖的折射率，需用刻度尺测量L1、L3（用上述给出的字母表示），玻璃砖的折射率可表示为$\frac{{L}_{1}}{{L}_{3}}$．
人和雪橇的总质量为75kg，沿倾角为θ=37°且足够长的斜坡面向下滑动，已知雪橇所受空气阻力与速度成正比，比例系数K未知．从某时刻开始计时测得雪橇的速度--时间图象如图中的AD所示，图中AB是曲线在A点的切线．g取10m/s2，sin37°=0.60，cos37°=0.80．回答问题并求解：