Question

11．一水池水深H=3m，现从水面上方h=1.8m高处由静止释放一个硬质小球，测得小球从释放到落至水池底部用时t=1.1s．已知小球直径远小于水池深度，不计空气及水的阻力，进入水池过程中浮力变化不计，取g=10m/s²，求：
（1）小球在水中运动的时间和加速度；
（2）从水面上方多高处由静止释放小球，才能使小球从释放到落至池底所用时间最短．

Answer 1

分析 （1）通过空中自由落体的时间，求出在水中运动的时间，根据落水的速度、在水中运动的时间、位移，求出在水中运动的加速度，即可分析小球在水中的运动情况．
（2）列出下落总时间与水面上方高度的关系式，通过数学方法求极小值．

解答 解：（1）水面上 $h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$ ①
解得${t}_{1}^{\;}=0.6$s  
设水中做匀变速运动的加速度为a，时间为${t}_{2}^{\;}$，则${t}_{2}^{\;}=t-{t}_{1}^{\;}=0.5$s ②
$H=（g{t}_{1}^{\;}）{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$ ③
解得a=0，即水中做匀速直线运动 
（2）设释放点距水面x，则
总时间${t}_{x}^{\;}=\sqrt{\frac{2x}{g}}+\frac{H}{\sqrt{2gx}}$④
当$\sqrt{\frac{2x}{g}}=\frac{H}{\sqrt{2gx}}$时，即$x=\frac{H}{2}$=1.5m  
答：（1）小球在水中运动的时间0.6s和加速度为0；
（2）从水面上方1.5m处由静止释放小球，才能使小球从释放到落至池底所用时间最短

点评 解决本题要掌握自由落体运动的位移公式，速度公式求时间求速度．关键要能运用数学知识求解时间最短的条件．