Question

2．如图所示，两光滑圆轨道的半径R₁=25cm，R₂=50cm．质量为250g的小球从h=70cm高处无摩擦地滚下．求：
①小球通过A、B、C三点时，小球对轨道的压力．
②要使小球能顺利通过A、B、C三点，则h的取值范围．

Answer 1

分析 ①小球在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可求出小球到达A、B、C三点时的速度，再由牛顿第二、第三定律结合求解小球通过A、B、C三点时，小球对轨道的压力．
②要使小球能顺利通过B、C两点，在B、C两点小球所需要的向心力必须大于等于重力，由此分析求解h的取值范围．

解答 解：①根据机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_A²；
mg（h-2R₁）=$\frac{1}{2}$mv_B²；
mg（h-R₂）=$\frac{1}{2}$mv_C²；
根据牛顿第二定律得：
在A点有：N_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{1}}$
在B点有：N_B+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$
在C点有：mg-N_C=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{{R}_{2}}$
联立解得：N_A=16.5N，N_B=1.5N，N_C=0.5N
根据牛顿第三定律可知，小球通过A、B、C三点时，小球对轨道的压力分别为16.5N，1.5N，0.5N．
②设要使小球能顺利通过B、C两点时必须满足：
m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$≥mg
m$\frac{{v}_{C}^{2}}{{R}_{2}}$≤mg
结合mg（h-2R₁）=$\frac{1}{2}$mv_B²；解得：h≥2.5R₁=62.5cm
结合mg（h-R₂）=$\frac{1}{2}$mv_C²；解得：h≤2.5R₂=175cm
则满足要求的h的取值范围为：62.5cm≤h≤175cm
答：①小球通过A、B、C三点时，小球对轨道的压力分别为16.5N，1.5N，0.5N．
②要使小球能顺利通过A、B、C三点，则h的取值范围为 62.5cm≤h≤175cm．

点评 本题考查机械能守恒定律及向心力公式的综合应用，要知道只有重力做功时，物体的机械能守恒．小球通过竖直平面内光滑圆周的最高点时必须满足一定条件，把握临界条件是关键．