Question

2．如图所示，有一光滑、不计电阻且较长的“Ⅱ”平行金属导轨，间距L=1m，导轨所在的平面与水平面的倾角为37°，导轨空间内存在垂直导轨平面的匀强磁场．现将一质量m=0.1kg、电阻R=2Ω的金属杆水平靠在导轨处，与导轨接触良好．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若磁感应强度随时间变化满足B=2+0.2t（T），金属杆由距导轨顶部l　m处释放，求至少经过多长时间释放，会获得沿斜面向上的加速度；
（2）若匀强磁场大小为定值，对金属杆施加一个平行于导轨斜面向下的外力F，其大小为产F=v+0.4（N），v为金属杆运动的速度，使金属杆以恒定的加速度a=10m/s²沿导轨向下做匀加速运动，求匀强磁场磁感应强度B的大小；
（3）若磁感应强度随时间变化满足B=$\frac{2}{0.1+0.1{t}^{2}}$（T），t=0时刻金属杆从离导轨顶端S₀=1m处静止释放，同时对金属杆施加一个外力，使金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生，求金属杆下滑5m所用的时间．

Answer 1

分析 （1）金属杆有沿着斜面向上的加速度时，安培力等于重力沿斜面的分力，由安培力表达式F=BIL，结合B随t的变化关系，可以解得时间t；
（2）金属杆收到重力和安培力的作用而做匀加速运动，由牛顿第二定律，结合安培力表达式，可解得磁感应强度B．
（3）金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生，说明磁通量不变，由此可以表示初末磁通量相等，解得金属杆下滑5m所用的时间．

解答 解：（1）设金属杆长为L，距离导轨顶部也为L，经过ts后，金属杆有沿斜面向上的加速度，此时安培力等于重力沿斜面的分力，则：
${F}_{A}^{\;}=mgsinθ$
又：${F}_{A}^{\;}=BIL=B\frac{E}{R}L$
其中：$E=\frac{△B}{△t}{L}_{\;}^{2}=0.2V$
所以：$（2+0.2t）\frac{E}{R}L=mgsinθ$
解得：t=20s
（2）对金属杆由牛顿第二定律：
$mgsinθ+F-{F}_{A}^{\;}=ma$
代入数据解得：$1+（1-\frac{{B}_{\;}^{2}}{2}）v=0.1×10$
因为是匀加速运动，加速度为定值，则：$（1-\frac{{B}_{\;}^{2}}{2}）=0$
解得：$B=\sqrt{2}T$
（3）设t=0时刻金属杆距离顶端为${S}_{0}^{\;}$，由金属杆与导轨组成的闭合电路中，磁通量保持不变，经过ts的位移为S，则：
${B}_{1}^{\;}L{S}_{0}^{\;}={B}_{2}^{\;}L（S+{S}_{0}^{\;}）$
代入数据：
$20×1×1=\frac{2}{0.1+0.1{t}_{\;}^{2}}×1×（1+S）$
解得：$S={t}_{\;}^{2}$
金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，S=5m
解得：$t=\sqrt{5}s$
答：（1）若磁感应强度随时间变化满足B=2+0.2t（T），金属杆由距导轨顶部l　m处释放，至少经过20s时间释放，会获得沿斜面向上的加速度；
（2）若匀强磁场大小为定值，对金属杆施加一个平行于导轨斜面向下的外力F，其大小为产F=v+0.4（N），v为金属杆运动的速度，使金属杆以恒定的加速度a=10m/s²沿导轨向下做匀加速运动，匀强磁场磁感应强度B的大小为$\sqrt{2}T$；
（3）若磁感应强度随时间变化满足B=$\frac{2}{0.1+0.1{t}^{2}}$（T），t=0时刻金属杆从离导轨顶端S₀=1m处静止释放，同时对金属杆施加一个外力，使金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生，金属杆下滑5m所用的时间$\sqrt{5}s$．

点评 该题的关键是第三问，要能正确解读“金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生的含义，只有这样才能顺利解决该题，其余方法均不行