Question

8．图甲为一理想变压器，ab为原线圈的两端点，cd为副线圈的两端点，原线圈输入正弦交变电压的v-t图象如图乙所示，若在cd间接一只R=40ΩD电阻，电阻消耗的功率为P=20W，试求：
（1）在原线圈两端输入的交流电压的瞬时值u_ab的表达式；
（2）ab和cd间线圈的匝数比$\frac{{n}_{ab}}{{n}_{cd}}$；
（3）将cd间电阻R拆去，改接上一只内阻r=10$\sqrt{2}$Ω的电动机，若除电动机的内阻外，不考虑其他因素带来的能量损失，则该电动机的最大输出功率为多大？

Answer 1

分析 （1）原线圈的输入电压的瞬时值的表达式可由图知道输入电压的圆频率和电压的最大值即可；
（2）根据$P=\frac{{U}_{\;}^{2}}{R}$求出cd间电压的有效值，根据原副线圈的电压与匝数成正比即可求出ab和cd间线圈的匝数比$\frac{{n}_{ab}}{{n}_{cd}}$．
（3）在cd间接入电动机根据能量守恒输入给电动机的功率等于电动机消耗的热功率和电动机输出功率之和，结合数学知识求解；

解答 解：（1）由图象可知：电压的最大值${U}_{m}^{\;}=200V$，周期T=0.01s
电压的瞬时值表达式${u}_{ab}^{\;}=200sin\frac{2π}{0.01}tV$
解得：${u}_{ab}^{\;}=200sin200πtV$
（2）设cd间电压的有效值为${U}_{cd}^{\;}$，电阻R的功率$P=\frac{{U}_{cd}^{2}}{R}$
解得：${U}_{cd}^{\;}=\sqrt{PR}=\sqrt{20×40}=20\sqrt{2}V$
ab间电压的有效值${U}_{ab}^{\;}=\frac{200}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}V$
ab和cd间线圈的匝数比$\frac{{n}_{ab}^{\;}}{{n}_{cd}^{\;}}=\frac{{U}_{ab}^{\;}}{{U}_{cd}^{\;}}=\frac{100\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}=\frac{5}{1}$
（3）在cd间接入电动机工作时，设副线圈的电流为I，电动机的输出功率为P
${U}_{cd}^{\;}I={I}_{\;}^{2}r+P$
即$20\sqrt{2}I=10\sqrt{2}{I}_{\;}^{2}+P$
$P=20\sqrt{2}I-10\sqrt{2}{I}_{\;}^{2}$
解得I=1A时，输出功率最大，${P}_{m}^{\;}=10\sqrt{2}W$
答：（1）在原线圈两端输入的交流电压的瞬时值u_ab的表达式${u}_{ab}^{\;}=200sin200πt$（V）；
（2）ab和cd间线圈的匝数比$\frac{{n}_{ab}}{{n}_{cd}}$=$\frac{5}{1}$；
（3）将cd间电阻R拆去，改接上一只内阻r=10$\sqrt{2}$Ω的电动机，若除电动机的内阻外，不考虑其他因素带来的能量损失，则该电动机的最大输出功率为$10\sqrt{2}W$

点评 掌握原副线圈的电压之比等于匝数比，知道电动机是非纯电阻元件，根据能量守恒输出功率等于总功率与热功率之差，应用电功率公式即可正确解题．