Question

2．如图所示，半径R=0.80m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道竖直固定，过最低点的半径OC处于竖直位置．其右方有底面半径r=0.2m的转筒，转筒顶端与C等高，下部有一小孔，距顶端h=0.8m．转筒的轴线与圆弧轨道在同一竖直平面内，开始时小孔也在这一平面内的图示位置．今让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落后打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬问碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为O，而沿切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使转简立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A、B到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角均为θ=30°，不计空气阻力，g取lOm/s²．求：
（1）小物块到达C点时对轨道的压力大小F_C
（2）转筒轴线距C点的距离L．
（3）转筒转动的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）先根据几何关系求得碰后小球速度，从B到C得运动过程中运用动能定理求得到达C的速度，根据向心力公式及牛顿第三定律即可求解；
（2）小球从C点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的基本规律即可求解；
（3）小物块最终正好进入小孔，结合圆周运动的周期性知，在小球做平抛运动的时间里，转筒正好转了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）．由此求解．

解答 解：（1）小物块由A→B的过程中，
  2mgRsin30°=$\frac{1}{2}$mv_B²
得 v_B=4m/s                                               
在瞬间碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为0，沿切线方向的分速度不变．
则碰撞后瞬间小物块速度
 v_B′=v_Bcos30°=2$\sqrt{3}$m/s                                
小物块由B→C的过程中根据动能定理得：
  mgR（1-sin30°）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B′²
解得 v_C=2$\sqrt{5}$m/s                                            
小物块在C点，根据向心力公式得：
  F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=3.5N                                                 
所以由牛顿第三定律知，小物块对轨道压力的大小 F_C=3.5N    
（2）小球由C到小孔做平抛运动
 h=$\frac{1}{2}$gt²   
解得：t=0.4s                                               
所以L=v_Ct+r=（$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$+0.2）m                                    
（3）小物块最终正好进入小孔，所以在小球做平抛运动的时间里，转筒正好转了n圈，
即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）．
解得：ω=$\frac{2nπ}{t}$=5nπrad/s  （n=1，2，3…）．
答：
（1）小物块到达C点时对轨道的压力大小为3.5N；
（2）转筒轴线距C点的距离L为（$\frac{4}{5}\sqrt{5}$+0.2）m；
（3）转筒转动的角速度ω为5nπrad/s  （n=1，2，3…）．

点评 本题是圆周运动与平抛运动相结合的题目，要掌握平抛运动的研究方法：运动的分解，理解圆周运动的周期性，分析时要抓住平抛运动与圆周运动的同时性．