Question

11．如图所示，在半径为R质量分布均匀的铅球中挖取一球形空穴，空穴与原球面最高点相切，并通过铅球的球心，在未挖去空穴前铅球的质量为M，求挖去空穴后的铅球相对水平地面的重力势能是多大？

Answer 1

分析 根据体积关系，求出挖去部分的质量．用没挖之前球的重力势能，减去被挖部分的重力势能，就是剩余部分的重力势能．

解答 解：根据m=$ρV=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$知，挖去部分的半径是球半径的一半，则质量是球体质量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的质量为：$M′=\frac{1}{8}M$．
没挖之前，球体的重力势能：E_P1=MgR，
挖去部分m的重力势能：${E}_{P2}=mg（\frac{3}{2}R）=\frac{1}{8}M•\frac{3}{2}gR=\frac{3}{16}MgR$
所以挖去空穴后的铅球相对水平地面的重力势能：${E}_{P}={E}_{P1}-{E}_{P2}=MgR-\frac{3}{16}MgR=\frac{13}{16}MgR$
答：挖去空穴后的铅球相对水平地面的重力势能是$\frac{13}{16}MgR$．

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球M在的重力势能减去割掉的小球重力势能等于剩余空腔部分的重力势能．掌握割补思想是解决本题的主要入手点．