Question

3．宇航员驾驶一艘宇宙飞船飞临X星球，然后在该星球上做火箭发射实验．微型火箭点火后加速上升4s后熄火，测得火箭上升的最大高度为80m，若火箭始终在垂直于星球表面的方向上运动，火箭燃料质量的损失及阻力忽略不计，且已知该星球的半径为地球半径的$\frac{1}{2}$，质量为地球质量的1/8，地球表面的重力加速度g₀取10m/s²．
（1）求该星球表面的重力加速度；
（2）求火箭点火加速上升时所受的平均推力与其所受重力的比值；
（3）若地球的半径为6400km，求该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据黄金代换式，结合星球和地球的质量比和半径之比求出重力加速度之比，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据牛顿第二定律求出平均推力的大小，从而得出平均推力和所受重力的大小之比
（3）根据重力等于万有引力求第一宇宙速度

解答 解：（1）根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
地球表面${g}_{0}^{\;}=G\frac{{M}_{0}^{\;}}{{R}_{0}^{2}}$
联立得$g=\frac{M{R}_{0}^{2}}{{M}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{g}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}{g}_{0}^{\;}=5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）加速上升阶段：${h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
减速上升阶段：${h}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}=\frac{（at）_{\;}^{2}}{2g}$
又${h}_{1}^{\;}+{h}_{2}^{\;}=80m$
解得$a=5m/{s}_{\;}^{2}$
根据牛顿第二定律有F-mg=ma
解得$\frac{F}{mg}=2$
（3）由$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5×\frac{1}{2}×6400×1{0}_{\;}^{3}}m/s=4×1{0}_{\;}^{3}m/s$
答：（1）该星球表面的重力加速度$5m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）火箭点火加速上升时所受的平均推力与其所受重力的比值2；
（3）若地球的半径为6400km，该星球的第一宇宙速度$4×1{0}_{\;}^{3}m/s$．

点评 本题考查了牛顿第二定律、运动学公式和万有引力定律的综合运用，通过黄金代换式求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键．