Question

11．一小车放在光滑水平面上，车上固定着一竖直轻质直杆，杆的顶端O距地面2L且在O点系一轻绳，长为L，绳的末端系一小球（看成质点），小球和小车质量之比为1：3．现将轻绳水平拉直，此时车和球均静止，然后释放小球，小球运动到最低点时，轻绳断开，重力加速度为g．求：
（1）轻绳断开瞬间小球速度的大小；
（2）小球落地时，小车向右移动的总距离．

Answer 1

分析 （1）小球在向下摆动的过程中，小球与车组成的系统水平方向动量守恒，系统的机械能守恒．由动量守恒定律和机械能守恒定律列式可求得轻绳断开瞬间小球的速度；
（2）小球在向下摆动的过程中，由动量守恒定律求小车向右移动的距离．轻绳断开后，小球做平抛运动，小车做匀速运动，由平抛运动的规律求出时间，再由位移公式求小车向右移动的距离．从而得到总距离．

解答 解：（1）设小球的质量为m．小球在向下摆动的过程中，小球与小车组成的系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，
以向左为正方向，由动量守恒定律得：mv₁-3mv₂=0，
由机械能守恒定律得：mgL=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•3mv₂²
解得：v₁=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$，v₂=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$；
（2）从释放到绳断开，设小车向右移动的距离为x₁，则小球向左移动的水平距离为L-x₁．
以向左为正方向，根据系统水平方向上动量守恒得
   m$\frac{L-{x}_{1}}{t}$-3m$\frac{{x}_{1}}{t}$=0
解得 x₁=$\frac{1}{4}$L
绳断开后小球做平抛运动，
竖直方向有：L=$\frac{1}{2}$gt²
这段时间内小车向右匀速运动，小车的位移：x₂=v₂t
联立可得 x₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L
故小球落地时，小车向右移动的总距离 S=x₁+x₂=$\frac{3+4\sqrt{3}}{12}$L
答：
（1）轻绳断开瞬间小球速度的大小是$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$；
（2）小球落地时，小车向右移动的总距离是$\frac{3+4\sqrt{3}}{12}$L．

点评 本题中小球向下摆动的过程中，要注意系统的总动量并不守恒，只是水平方向动量守恒，同时注意分析过程，明确物理规律的应用．