Question

13．月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，假如“嫦娥四号”卫星在近月轨道（轨道半径近似为月球半径）做匀速圆周运动的周期为T₀，如图所示，PQ为月球直径，某时刻Q点离地心O最近，且P、Q、O共线，月球表面的重力加速度为g₀，万有引力常量为G，则（　　）

• A． 月球质量M=$\frac{T_0^4g_0^3}{{16{π^4}G}}$
• B． 月球的第一宇宙速度v=$\frac{{{g_0}{T_0}}}{2π}$
• C． 再经$\frac{T}{2}$时，P点离地心O最近
• D． 要使“嫦娥四号”卫星在月球的背面P点着陆，需提前加速

Answer 1

分析 根据重力提供向心力求出月球半径的表达式，结合万有引力等于重力求出月球的质量，根据重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．抓住月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，再经$\frac{T}{2}$时，P点离地心O是最近还是最远．

解答 解：A、根据$m{g}_{0}=mR\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$得，月球的半径R=$\frac{{g}_{0}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}$，根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$得月球的质量为：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}=\frac{{{T}_{0}}^{4}{{g}_{0}}^{3}}{16{π}^{4}G}$，故A正确．
B、根据$m{g}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得月球的第一宇宙速度为：v=$\sqrt{{g}_{0}R}=\frac{{g}_{0}{T}_{0}}{2π}$，故B正确．
C、月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，再经$\frac{T}{2}$时，P点离地心O最远，故C错误．
D、要使“嫦娥四号”卫星在月球的背面P点着陆，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动．故D错误．
故选：AB．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力、万有引力提供向心力这两个重要理论，并能灵活运用，知道月球自转周期T与它绕地球匀速圆周运动的公转周期相同，月球公转半圈，自转半圈．