Question

10．光滑水平面与一半径为R=2.5m的竖直光滑圆轨道平滑连接如图所示，物体可以由圆轨道底端阀门（图中未画出）进入圆轨道，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m=0.5kg的小球A接触但不相连，今向左推小球A压缩弹簧至某一位置后，由静止释放小球A，测得小球A到达圆轨道最高点是对轨道的压力大小为F_N=10N，g=10m/s²，（小球A可视为质点）
（1）求弹簧的弹性势能E_p；
（2）若弹簧的弹性势能E_p=25J，小球进入圆轨道后阀门关闭，通过计算说明小球会不会脱离轨道．若脱离，求在轨道上何处脱离（脱离点和圆心连接与水平方向的夹角可用三角函数表示），若不能脱离，求小球对轨道的最大与最小压力的差△F．

Answer 1

分析 对小球在轨道最高点时受力分析，根据牛顿第二定律列方程求出小球在最高点时的速度，根据能量守恒定律求弹簧的弹性势能；
若小球能通过最高点，则v≥$\sqrt{gR}$，由能量守恒定律求小球到达最高点的速度，然后与临界速度进行比较．

解答 解： （1）小球到达最高点，由牛顿第二定律可得：
F_N+mg=m$\frac{v2}{R}$
以弹簧和小球为系统，由机械能守恒定律可得：
E_p=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R 
联立并代入数据得：E_p=43.75 J．
（2）若小球恰好能够做完整的圆周运动，则由机械能守恒定律可得：
E_p1=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R
其中mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立并代入数据得：E_p1=31.25 J  
若速度较小，则小球在圆心以下做往复运动，也不会脱离轨道，有：
E_p2=mgR=12.5 J
综上所述，小球不脱离圆轨道必须满足：
E_p≥31.25 J或0＜E_p≤12.5 J．
故E_p=25 J时，小球一定会脱离圆轨道．
设小球在与圆心连线与水平方向夹角为θ处脱离轨道，速度大小为v′，可得：
mgsin θ=m$\frac{v′2}{R}$
由机械能守恒定律得：
E_p=mgR（1+sin θ）+$\frac{1}{2}$mv′²
联立解得：sin θ=$\frac{2}{3}$．
θ=arcsin$\frac{2}{3}$
答：（1）弹簧的弹性势能E_P为43.75J；
（2）若弹簧的弹性势能E_P=25J，小球进入圆轨道后阀门关闭，小球会脱离圆轨道，在轨道上与圆心连线与竖直方向成arcsin$\frac{2}{3}$处脱离．

点评 本题是能量守恒与牛顿运动定律的综合应用，来处理圆周运动问题．利用功能关系解题的优点在于不用分析复杂的运动过程，只关心初末状态即可，平时要加强训练深刻体会这一点．