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4．在直角坐标系xOy的第一象限区域中，有沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画）．在x=4L处垂直于x轴放置一荧光屏，与x轴的交点为Q．电子束以相同的速度v从y轴上0≤y≤2.5L的区间垂直于电场和磁场方向进入场区，所有电子均做匀速直线运动．忽略电子间的相互作用力，不计重力，电子的质量为m，所带电量的绝对值为q，磁场的磁感应强度为B=$\frac{mv}{qL}$．求：
（1）电场强度的大小；
（2）若撤去电场，并将磁场反向，求从y=0.5L处射入的电子经多长时间打到荧光屏上；
（3）若撤去磁场，求电子打到荧光屏距Q点的最远距离．

分析 （1）电子做匀速直线运动电场力与洛伦兹力合力为零，由平衡条件可以求出电场强度．
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，作出粒子运动轨迹求出电子转过的圆心角，然后根据周期公式求出运动时间，电子离开磁场后做匀速直线运动，求出其运动时间，最后求出电子总的运动时间．
（3）电子在电场做做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出最远距离．

解答 解：（1）电子做匀速直线运动，
由平衡条件得：qE=qvB，解得：E=$\frac{m{v}^{2}}{qL}$；
（2）电子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=L，
圆心角：cosα=$\frac{0.5L}{r}$=0.5，α=60°，
电子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
电子做圆周运动的时间：t1=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T，
电子离开场区之后的运动时间：t2=$\frac{4L-rsinα}{vcosα}$=$\frac{（8-\sqrt{3}）L}{v}$，
电子打到荧光屏上的时间：t=t1+t2=$\frac{（π+24-3\sqrt{3}L）}{3v}$；
（3）设电子在电场中运动时间为t，竖直方向位移为y，水平位移为x，
则：x=vt，y=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t2，vy=at=$\frac{qE}{m}$t，解得：x=$\sqrt{2yL}$，vy=v$\sqrt{\frac{2y}{L}}$，
设电子穿出电场时的速度方向与x轴的夹角为θ，则：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\sqrt{\frac{2y}{L}}$，
电子打到荧光屏上距离Q点的距离：H=（4L-x）tanθ-（4$\sqrt{L}$-$\sqrt{2y}$）$\sqrt{2y}$，
由数学知识得：当y=2L时，H有最大值，最大值为Hm=4L；
答：（1）电场强度的大小为：$\frac{m{v}^{2}}{qL}$；
（2）若撤去电场，并将磁场反向，从y=0.5L处射入的电子打到荧光屏上的时间为$\frac{（π+24-3\sqrt{3}L）}{3v}$；
（3）若撤去磁场，求电子打到荧光屏距Q点的最远距离为4L．

点评 电子在电磁场中做匀速直线运动、在电场中做类平抛运动、在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚电子运动过程是解题的关键，应用平衡条件、牛顿第二定律与运动学公式可以解题，解题时注意数学知识的应用．

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