Question

17．如图所示，火星、地球和太阳在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，地球公转的轨道半径为1AU，火星公转的轨道半径为1.5AU．行星冲日时即地球恰仔运行到火星和太阳之间，且三者排成一条直线，问此后至少要经过多长时间又出现行星冲日？

Answer 1

分析 根据开普勒定律分析火星周期与地球周期的关系．结合周期关系可分析至少要经过多长时间又出现行星冲日．

解答 解：根据开普勒第三定律：$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
所以：$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}=\sqrt{（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}}=\sqrt{1．{5}^{3}}=1.84$
当再次发生行星冲日时，二者之间的距离再次最近，地球比火星多转一周，设时间为t，则：
$\frac{t}{{T}_{1}}-\frac{t}{{T}_{2}}=1$
联立得：t=2.19T₁
地球绕太阳的周期为1年，所以t=2.19年
答：此后至少要经过2.19年的时间又出现行星冲日．

点评 解决行星运动问题，关键要掌握开普勒定律，这类问题与卫星绕地球运行类似，要建立模型，由万有引力提供向心力理解．