Question

8．如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为 B 的匀强磁场中有两条光滑固定 的平行金属导轨 MN．PQ，导轨足够长，间距为 L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直．ab．cd 为两根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻均为 R，质量均为m．与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与 cd 棒的中点连接，细线能承受的最大拉力为 T，一开始细线处于伸直状态，ab 棒在平行导轨的水平拉力 F（未知）的作用下以加速 a 向右做 匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨垂直．求：
（1）经多长时间细线被拉断？
（2）若在细线被拉断瞬间撤去拉力 F，两根金属棒之间距离增量△x 的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）ab棒向右做匀加速运动时，穿过回路abcd的磁通量增大，回路中产生感应电动势和感应电流，cd受到向右的安培力作用，当安培力大小等于细线的最大拉力时，细线被拉断．根据 E=BLv、I=$\frac{E}{2R}$、F=BIL，v=at，推导出安培力F的表达式，细线刚被拉断时F=T，即可求得t；
（2）在细线被拉断瞬间撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右开始做加速运动，cd切割磁感线产生感应电动势，回路中总的感应电动势将减小，感应电流减小，则ab做加速度逐渐减小的减速运动，cd做加速度逐渐减小的加速运动，最终两者以共同速度v′做匀速直线运动．根据系统动量守恒求得两棒最终匀速运动时的速度．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流公式I=$\frac{q}{t}$，求得通过两棒的电量q，再对cd棒运用动量定理求解．

解答 解：（1）当细线拉力达到最大时，cd棒所受的安培力F_A=T，
根据${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$得，ab棒的速度v=$\frac{2RT}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
则经历的时间t=$\frac{v}{a}=\frac{2RT}{{B}^{2}{L}^{2}a}$．
（2）撤去F后，两棒组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，设两棒匀速运动时的相同速度为v′，据动量守恒得：
mv=2mv′
解得v′=$\frac{v}{2}$=$\frac{RT}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得：$\overline{I}=\frac{△Φ}{△t•2R}$，
通过电荷量$q=\overline{I}△t=\frac{BL△x}{2R}$，
对cd棒，由动量定理得：$B\overline{I}L△t$═mv′
联立上两式得：△x=$\frac{2mT{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）经$\frac{2RT}{{B}^{2}{L}^{2}a}$时间细线被拉断；
（2）两根金属棒之间距离增量△x 的最大值是=$\frac{2mT{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题双杆模型，当cd棒不动时，只有ab棒切割磁感线产生感应电动势，关键要会推导安培力和运用动量定理求△x．当cd棒也运动时，关键要正确分析两棒的运动情况．