Question

19．一航天仪器在地面上重为F₁，被宇航员带到月球表面上时重为F₂．已知月球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度大小为g₀，求：
（1）月球的密度；
（2）月球的第一宇宙速度和近月卫星（贴近月球表面）的周期．

Answer 1

分析 （1）根据物体在月球上的重力等于月球对物体的万有引力求出月球的质量，结合月球的体积求出月球的密度．
（2）根据重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度以及近月卫星的周期．

解答 解：（1）在地面上有：F₁=mg₀，
在月球表面上有：${F}_{2}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，
月球的质量为：M=$\frac{4π}{3}{R}^{3}ρ$，
联立解得月球的密度为：ρ=$\frac{3{g}_{0}{F}_{2}}{4πGR{F}_{1}}$．
（2）设月球的第一宇宙速度为v，近月卫星的周期为T，则
${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
F₁=mg₀，
T=$\frac{2πR}{v}$，
解得v=$\sqrt{\frac{{F}_{2}R{g}_{0}}{{F}_{1}}}$，T=$\frac{2πR}{v}$=$2π\sqrt{\frac{R{F}_{1}}{{g}_{0}{F}_{2}}}$．
答：（1）月球的密度为$\frac{3{g}_{0}{F}_{2}}{4πGR{F}_{1}}$；
（2）月球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{F}_{2}R{g}_{0}}{{F}_{1}}}$，近月卫星（贴近月球表面）的周期为$2π\sqrt{\frac{R{F}_{1}}{{g}_{0}{F}_{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．