如图所示.质量为m的U型金属框P′PNN′.静止在倾角为θ=37°的粗糙绝缘斜面上.与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5.且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．PP′.NN′边相互平行.相距L.电阻不计且足够长,上边PN垂直于PP′.电阻为R．光滑导体棒ab质量也为m.电阻不计.横放在框架上.整个装置处于垂直斜面向上.磁感应强度为B的匀强磁场中．将ab棒从静止释放.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图所示，质量为m的U型金属框P′PNN′，静止在倾角为θ=37°的粗糙绝缘斜面上，与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．PP′、NN′边相互平行，相距L，电阻不计且足够长；上边PN垂直于PP′，电阻为R．光滑导体棒ab质量也为m，电阻不计，横放在框架上，整个装置处于垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．将ab棒从静止释放，当ab发生的位移为x₀时，框架开始向下运动．已知导体棒ab与PP′、NN′始终接触良好，重力加速度为g，取sin37°=0.6，求：
（1）框架开始运动时导体棒ab的速率；
（2）框架开始运动前R释放的热量；
（3）框架开始运动后，通过导体PN电流的最大值．

分析（1）先分析金属框开始时是否静止；设ab棒的速度为v时金属框开始运动，由法拉第电磁感应定律以及闭合电路的欧姆定律求出电路中的电流，然后对金属框进行受力分析，求出ab的速度；
（2）由功能关系即可求出框架开始运动前R释放的热量；
（3）框架开始运动后，由牛顿第二定律分析ab与金属框的最大速度差，并求出通过导体PN电流的最大值．

解答解：（1）开始时对金属框进行受力分析可知，在垂直于斜面的方向上有：
F_N=mgcos37°+mgcos37°=1.6mg
沿斜面的方向金属框受到的最大静摩擦力为：
f=μ•F_N=0.5×1.6mg=0.8mg＞mgsin37°=0.6mg
所以开始时金属框静止，设ab棒的速度为v时金属框开始运动，由法拉第电磁感应定律可得：E=BLv
电路中的电流为：I=$\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$
根据右手定则可知，ab向下运动的过程中，ab中电流的方向为b流向a，由左手定则可知，PN边受到的安培力的方向沿斜面向下，所以金属框开始运动时沿斜面方向的受力：BIL+mgsin37°=f
代入数据联立得：v=$\frac{mgR}{5{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）金属框向下运动前ab棒减小的重力势能转化为ab棒的动能和焦耳热，所以得：
$mgsin37°=Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据得：Q=$0.6mg{x}_{0}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{50{B}^{4}{L}^{4}}$
（3）ab棒与金属框都向下运动时，设它们的受到分别为v₁和v₂，电动势为E′，电流为I′，ab棒与PN棒受到的安培力都是F_安；则：
E′=BL（v₁-v₂）
$I′=\frac{E′}{R}$
${F}_{安}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$
对金属棒ab：mgsin37°-F_安=ma₁
对金属框：F_安+mgsin37°-f=ma₂
由于安培力的作用，a₁逐渐减小，而a₂逐渐增大，当a₁=a₂时，v₁-v₂达到最大并且保持不变，此时电路中的电流最大并且保持不变，设为I_m，则：
mgsin37°-BI_mL=BI_mL+mgsinθ-f
联立得：I_m=$\frac{2mg}{5BL}$
答：（1）框架开始运动时导体棒ab的速率是$\frac{mgR}{5{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）框架开始运动前R释放的热量是$0.6mg{x}_{0}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{50{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）框架开始运动后，通过导体PN电流的最大值是$\frac{2mg}{5BL}$．