Question

15．A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T，B行星的周期为5T，从某一时刻两行星相距最近开始，则（　　）

• A． 经过5T两行星相距最近
• B． 经过$\frac{3}{2}$T两行星相距最近
• C． 经过$\frac{15}{8}$T两行星相距最远
• D． 经过$\frac{7}{8}$T两行星相距最远

Answer 1

分析 当两行星再次相距最近时，A行星比B行星多转过的角度为2nπ，n=1，2，3，…，根据圆周运动的周期性求出相距最近的时间．当两行星相距最远时，A行星比B行星多转过的角度为（2n-1）π，n=1，2，3，…，根据圆周运动的周期性求出相距最远的时间．

解答 解：当两行星再次相距最近时，A行星比B行星多转过的角度为2nπ，n=1，2，3，…
则有：$（\frac{2π}{T}-\frac{2π}{5T}）t$=2nπ，n=1，2，3，…，解得t=$\frac{5nT}{4}$，知当n=1时，t=$\frac{5T}{4}$，当n=2时，$t=\frac{5T}{2}$，当n=3时，t=$\frac{15}{4}T$，当n=4时，t=5T，故A正确．
当两行星相距最远时，A行星比B行星多转过的角度为（2n-1）π，n=1，2，3，…
则有：$（\frac{2π}{T}-\frac{2π}{5T}）t$=（2n-1）π，n=1，2，3，…，解得t=$\frac{5（2n-1）T}{8}$，当n=1时，t=$\frac{5T}{8}$，当n=2时，t=$\frac{15}{8}T$，当n=3时，t=$\frac{25}{8}T$，当n=4时，t=$\frac{15}{8}T$，故C正确．
故选：AC．

点评 解该题关键在于掌握A、B的角速度关系以及能根据转过的弧度的关系列出方程，关键是确定相距最远和最近的几何关系．