Question

20．我国的“探月工程”计划将于2017年宇航员登上月球．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R．求：（不考虑月球自转的影响）
（1）月球表面的自由落体加速度大小g₀；
（2）月球的质量M；
（3）月球的密度．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；　
（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M；　
（3）根据密度公式求出月球的密度

解答 解：（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 $h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
月球表面的自由落体加速度大小 ${g}_{月}^{\;}=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）若不考虑月球自转的影响 $G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}$
月球的质量 $M=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）月球表面的自由落体加速度大小为${g}_{月}^{\;}=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的质量M为$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（3）月球的密度$\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$．

点评 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解问题是常用的方法