Question

7．人类计划开发火星，已知火星半径为R，火星表面的重力加速度为g，火星自转的周期为T，试求：
（1）火星的第一宇宙速度？
（2）火星同步卫星的向心加速度大小？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求近地卫星的速度即第一宇宙速度
（2）根据万有引力等于向心力和黄金代换式联立求出火星同步卫星的向心加速度

解答 解：（1）由火星表面  $mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得火星的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}$
（2）设火星同步卫星离地面高度为h，万有引力提供做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$①
在火星表面有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$②
联立①②得$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{16{π}_{\;}^{4}g{R}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{4}}}$
答：（1）火星的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$
（2）火星同步卫星的向心加速度大小$\root{3}{\frac{16{π}_{\;}^{4}g{R}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{4}}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．