Question

2．如图，小球从光滑的斜轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，在转筒侧壁的同一竖直线上有两个小孔A、B，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L=5R，且与转筒侧壁上的小孔B的高度差为h=3R．开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从斜轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔A，并从小孔B钻出．（小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g），求：
（1）小球通过光电装置时的速度大小；
（2）A、B两孔的间距△h；
（3）转筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）从O到B的过程，小球做平抛运动，根据平抛运动基本公式求解小球通过光电装置时的速度大小；
（2）从O到A的过程中，根据平抛运动基本公求出从O到A竖直方向的位移，从而求出AB间的高度；
（3）能钻入小孔A，并从小孔B钻出需满足：t₁=nT，${t}_{2}=（k+\frac{1}{2}）T$，根据加速度与周期的关系结合数学知识求解即可．

解答 解：设小球通过光电装置的位置为O点，从O到进入A孔的时间为t₁，从O到穿出B孔的时间为t₂，
（1）从O到B的过程，小球做平抛运动，根据平抛运动基本公式得：L+R=v₀t₂，
h=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$                     
联立解得：${v}_{0}=\sqrt{6gR}$
（2）设O点与A点高度差为h₁，
从O到A的过程中，根据平抛运动基本公式得：
L-R=v₀t₁，${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
联立解得：${h}_{1}=\frac{4}{3}R$
而△h=h-h₁
解得：$△h=\frac{5}{3}R$
（3）能钻入小孔A，并从小孔B钻出需满足：
t₁=nT，${t}_{2}=（k+\frac{1}{2}）T$，
${t}_{1}=\frac{L-R}{{v}_{0}}$，${t}_{2}=\frac{L+R}{{v}_{0}}$，其中T=$\frac{2π}{ω}$
即$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{2}{3}$  解得3n=2k+1
令n=2m+1，k=3m+1，m=0，1，2，3…
解得$ω=\frac{π（2m+1）}{2R}{v}_{0}$ 代入${v}_{0}=\sqrt{6gR}$
得$ω=\frac{π\sqrt{6gR}（2m+1）}{2R}$，m=0，1，2，3…
答：（1）小球通过光电装置时的速度大小为$\sqrt{6gR}$；
（2）A、B两孔的间距△h为$\frac{5}{3}R$；
（3）转筒的角速度ω为$\frac{π\sqrt{6gR}（2m+1）}{2R}$m=0，1，2，3…．

点评 本题关键是分析求出小球和圆筒的运动规律，然后根据平抛运动基本公式、角速度与周期的关系列式求解，注意圆通转动过程中具有周期性，难度适中．