Question

19．竖直平面内有一个半径为R的绝缘圆轨道，圆轨道内有一个质量为m的带电量为q的小球，整个系统处于在水平向右的匀强电场中，如图所示小球静止时，小球与圆心连线与竖直方向成37°角，（重力加速度为g，sin37°=0.6cos37°=0.8），求：
（1）匀强电场的电场强度的大小；
（2）如图，A点与圆心等高，将小球由A点静止释放，若轨道粗糙，由A到B过程摩擦力做功为W，当小球到达最低点B时，求小球受到轨道的支持力大小．
（3）若圆轨道光滑，小球仍然从A点出发，但给小球一个竖直向下的初速度V₀，要求小球不脱离圆轨道，求V₀的范围．

Answer 1

分析 （1）如图所示小球静止时，受力平衡，根据平衡条件和电场力公式F=qE结合求解E．
（2）根据动能定理求得小球到达最低点B时的速度，再由牛顿第二定律求解小球受到轨道的支持力大小．
（3）要使小球不脱离圆轨道，有两种情况：第一种：小球做完整的圆周运动，必须能通过平衡位置关于O点的对称点P，根据牛顿第二定律求出小球通过P点的临界速度，再由动能定理求解．第二种：小球在以平衡位置为中心、重力和电场力沿圆弧切线的两个位置为端点的圆弧上做往复运动，由动能定理求解．

解答 解：（1）小球静止时处于平衡状态，受力如图，由平衡条件有：
qE=mgtan30°
解得：E=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
（2）从A到B过程，由动能定理得：
mgR-qER+W=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点，由轨道对球的支持力和重力的合力充当向心力，则有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=mg（3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）+$\frac{2W}{R}$
（3）如图，设电场力与重力的合力为F，则有：F=$\frac{mg}{cos37°}$
第一种情况：小球做完整的圆周运动．
设小球恰好能通过平衡位置关于O点的对称点P时速度为v，则有：F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
从A到P的过程，由动能定理得：F（R+Rsin37°）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：v₀=$\sqrt{2.75gR}$
故要求小球不脱离圆轨道，必须有：v₀≥$\sqrt{2.75gR}$．
第二种情况：小球在以平衡位置为中心、重力和电场力沿圆弧切线的两个位置为端点的圆弧上做往复运动．
小球到达右侧重力和电场力沿圆弧切线的位置Q点速度恰好为零时，由动能定理得：
-FR=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2.5gR}$，则必须满足：0≤v₀≤$\sqrt{2.5gR}$
答：（1）匀强电场的电场强度的大小为$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）当小球到达最低点B时，小球受到轨道的支持力大小为mg（3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）+$\frac{2W}{R}$．
（3）要求小球不脱离圆轨道，V₀的范围为v₀≥$\sqrt{2.75gR}$或0≤v₀≤$\sqrt{2.5gR}$．

点评 本题主要考查了向心力公式及动能定理的直接应用，知道小球恰好经过等效最高点时，由重力和电场力的合力提供向心力，根据向心力公式可以求出等效最高点的最小速度．可以与单摆振动类比进行分析．