Question

11．近年来，电子商务挑战传统商业模式，直接促进快递业的迅猛发展．某快递公司分拣货物的流程可简化为如图所示情景：如图所示，一半径R的水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m的快件（可视为质点），当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管（图中圆管未画出）进入光滑轨道AB后无能量损失地水平滑上以v₀匀速转动的传送带，当快件滑到离传送带左端B的距离为$\frac{L}{n}$时，恰好与传送带速度相同．设快件与圆盘和传送带间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）轨道AB的高度．

Answer 1

分析 （1）滑块做匀速圆周运动，指向圆心的静摩擦力力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界加速度；
（2）对滑块受力分析，分别求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根据运动学公式求解出BC间的距离．

解答 解：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，
根据牛顿第二定律，可得：μmg=mω²R
代入数据解得：$ω=\sqrt{\frac{μg}{R}}$
（2）快件在传送带上的时候，只有摩擦力做功，设初速度为v_B，末速度为传送带的速度v₀，根据动能定理可得，
μmg$\frac{L}{n}$=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv_B²
快件做圆周运动时的速度为v_A=ωR=$\sqrt{μgR}$，
设轨道AB的高度为h，在AB阶段，根据动能定理可得，
mgh=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv_A²
联立解得h=$\frac{{v}_{0}{\;}^{2}}{2g}-\frac{μL}{n}-\frac{μR}{2}$
答：（1）当圆盘的角速度为$\sqrt{\frac{μg}{R}}$时，滑块从圆盘上滑落．
（2）轨道AB的高度$\frac{{v}_{0}{\;}^{2}}{2g}-\frac{μL}{n}-\frac{μR}{2}$．

点评 本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律求解．