Question

10．如图所示，一个半径R=1.0m的圆弧形光滑轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与竖直方向夹角θ=60°，C为轨道最低点，D为轨道最高点．一个质量m=0.50kg的小球（视为质点）从空中A点以v₀=4.0m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．重力加速度g取10m/s²．试求：
（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h．
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力F_C．
（3）OE⊥OB，若对小球平抛的初始位置和初速度大小适当调整，要使小球在B点还是沿切线方向进入圆形轨道，并能到达圆形轨道的E点，试求抛出点距圆弧轨道B端的高度h的最小值？

Answer 1

分析 （1）根据小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球的末速度应该沿着B点切线方向，再由圆的半径和角度的关系，可以求出B点切线的方向，即平抛末速度的方向，从而可以求得竖直方向分速度，再求h．
（2）根据机械能守恒定律求得C点的速度，根据牛顿运动定律求得压力F_C．
（3）小球恰能到达圆形轨道的E点时，由重力的径向分力提供向心力，由牛顿第二定律求出E点的最小速度，再由机械能守恒求h的最小值．
设小球能到达D点，根据机械能守恒定律求得D点速度，再运用牛顿第二定律和圆周运动知识求解

解答 解：（1）小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球平抛运动的末速度应该沿着B点切线方向
将平抛的末速度进行分解，根据几何关系得：
B点速度在竖直方向的分量：v_y=v₀tan60°=4$\sqrt{3}$m/s                       
竖直方向的分运动为自由落体运动，则 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{48}{20}$m=2.4m                    
（2）从A到C，由机械能守恒定律，有
$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mg（h+R-Rcosθ）
得v_C²=74m²/s²     
在C点，根据牛顿第二定律，有F′_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得F′_C=42N               
根据牛顿第三定律，F_C=F′_C=42N，方向竖直向下．
（3）若小球恰能到达圆形轨道的E点时，有 mgcos30°=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
根据机械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mg（h-Rsinθ-Rcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
要保证小球在B点还是沿切线方向进入圆形轨道，必须有：v_y=v₀tan60°，h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{（{v}_{0}tan60°）^{2}}{2g}$
联立以上三式解得：h=$\frac{9\sqrt{3}+6}{16}$m
答：
（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h是2.4m．
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力是42N，方向竖直向下．
（3）抛出点距圆弧轨道B端的高度h的最小值是$\frac{9\sqrt{3}+6}{16}$m．

点评 恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决．