Question

8．一根轻质细绳绕过轻质定滑轮，右边穿上质量M=3kg的物块A，左边穿过足够长的固定细管后下端系着质量m=1kg的小物块B，物块B距细管下端h=0.4m处，已知物块B通过细管时与管内壁间的滑动摩擦力F₁=10N，当绳中拉力超过F₂=18N时物块A与绳之间就会出现相对滑动，且绳与A间的滑动摩擦力恒为18N．开始时A、B均静止，绳处于拉直状态，同时释放A和B．不计滑轮与轴之间的摩擦，g取10m/s²．求：
（1）刚释放A、B时绳中的拉力；
（2）B在管中上升的高度；
（3）若其他条件不变，增大A的质量，求 B在细管中穿行的最大距离．

Answer 1

分析 （1）分别对A、B系统、对B应于牛顿第二定律可以求出绳子的拉力．
（2）由牛顿第二定律求出加速度，由匀变速直线运动的速度位移公式求出上升的高度．
（3）B在细管中做匀加速直线运动，B进入细管时的速度越大，它上升的高度越大，应用牛顿第二定律与运动学公式求出B进入管时的最大速度，然后应用速度位移公式求出它上升的最大高度．

解答 解：（1）刚释放A、B时，由牛顿第二定律，对A、B系统有：
a=$\frac{M-m}{M+m}$g=$\frac{3-1}{3+1}$×10=5m/s²，
对物体B有：T-mg=ma，
解得：T=m（g+a）=1×（10+5）=15N；
（2）B刚进入管中前做初速度为零的匀加速直线运动，由速度位移公式可得：v₀²=2ax，
解得，B进入管前瞬间的速度：v₀=$\sqrt{2ah}$=$\sqrt{2×5×0.4}$=2m/s，
由题意可知，绳子的最大拉力F₂=18N，B受到竖直向下的重力mg=10N，
竖直向下的摩擦力F₁=10N，B所受的合力向下，加速度向下，B的速度向上，B向上做减速运动，
B进入管后做匀减速直线运动，A相对于绳出现滑动，
设绳子与A之间的摩擦力是F_m，由牛顿第二定律得：
对B：mg+F₁-F_m=ma₁，代入数据解得：a₁=2m/s²，
对A：Mg-F_m=Ma₂，代入数据解得：a₂=4m/s²
B在管中上升的高度为：h′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2}$=1m；
（3）随着A的质量增大，B的加速度也增大，A与绳出现相对滑动时，
对A：Mg-F₂=Ma_m，
对B：F_m-mg=ma_m，
代入数据解得：a_m=8m/s²，M=9kg，
即A的质量为9kg时A、B出现相对滑动   故B进入管中最大速度为v_m，有：v_m²=2a_mh，
 B进入管中运动距离为：h_m=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$=1.6m；
答：（1）刚释放A、B时绳中的拉力大小为15N；
（2）B在管中上升的高度为1m；
（3）若其他条件不变，增大A的质量，B在细管中穿行的最大距离为1.6m．

点评 本题考查了求拉力、位移等问题，由于物体的受力与运动情况较复杂，本题难度较大，分析清楚物体的运动情况与受力情况是解题的关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题．