题目内容

18．如图所示，半径为r、圆心为O1的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一竖直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在M、N板中央各有一个小孔O2、O3．  O1、O2、O3在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距为L的足够长的光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与阻值为R的电阻形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中．静止释放导体棒，当其速度达到稳定后有一个电荷量为+q、质量为m的粒子（重力不计），以速率v0从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入磁场，偏转后沿O2 O3连线进入板间，恰好不能从O3射出，而从圆形磁场的最高点F射出，重力加速度为g，求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B′；
（2）射入的粒子在电场和磁场中运动的总时间；
（3）导体棒的质量．

分析 （1）带电粒子在电场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力与几何关系结合即可；
（2）分析可知粒子在磁场中做两个$\frac{1}{4}$圆周运动，在电场中做匀减速直线运动至速度为零，然后再反向做匀加速直线运动返回磁场，根据运动的对称性加速和减速时间相同，分别求粒子在电场和磁场中运动的时间，加和即可；
（3）根据导体棒速度达到稳定，即做匀速直线运动，重力和安培力受力平衡，列平衡方程解决即可．

解答 解：（1）在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，有：qv0B′=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
因为粒子偏转后能沿O2 O3连线进入板间，所以根据几何关系知：R=r
联立得：$B'=\frac{{mv_0^{\;}}}{qr}$
（2）粒子整个运动过程如图所示，设粒子在磁场中运动的总时间为t1，粒子在电场中运动的总时间为t2
带电粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$
磁场中的运动时间为：t1=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πr}{{v}_{0}}$
电场中的运动时间为：${t_2}=2×\frac{L}{{\frac{v_0}{2}}}=\frac{4L}{v_0}$
总时间为：$t={t_1}+{t_2}=\frac{πr}{v_0}+\frac{4L}{v_0}$
（3）分析可知，粒子恰好不能从O3射出的条件为恰好运动到O3速度减为0，
根据动能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
设棒的质量为M，PQ匀速运动的速度为v，产生的感应电动势为E，
根据受力平衡可得：Mg=F安
根据安培力公式得：F安=BIL
根据欧姆定律：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{U}{R}$
导体棒切割磁场有：E=BLv
联立以上各式得：$M=\frac{BLm}{2gqR}v_0^2$
答：（1）圆形磁场的磁感应强度B′为$\frac{{mv}_{0}}{qr}$；
      （2）射入的粒子在电场和磁场中运动的总时间为$\frac{πr}{{v}_{0}}+\frac{4L}{{v}_{0}}$；
      （3）导体棒的质量为$\frac{BLm}{2gqR}{v}_{0}^{2}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动和带电粒子在加速电场中运动以及电磁感应定律导体棒切割磁感线模型，考查内容都比较基础，难度不大．大家要牢记典型运动过程的处理方法．例如本题，在磁场中圆周运动用洛伦兹力提供向心力，结合几何关系解决轨迹半径，加速电场运用动能定理解决，最后导体棒切割磁感线，根据其运动状态列平衡方程去解决．

练习册系列答案
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