Question

17．根据电磁学有关知识，在某一空间放一电荷量为Q的点电荷，设无穷远处电势为零，则距离点电荷为r的某点的电势公式为φ=k$\frac{Q}{r}$，其中k为静电力常量．
（1）如图甲所示，在圆心处有一电荷量为+Q的点电荷，其等差等势面上a、b、c三点所在的圆半径分别为r_a、r_b、r_c．试用题中公式证明：r越大，点电荷的等势面越稀，即r_c-r_b＞r_b-r_a．
（2）如图乙中虚线所示是电荷量分别为+Q和-Q的等势面，试用题中公式证明：中垂线上任意一点P的电势为零．
（3）若将两个点电荷构成如图丙所示的电偶极子模型（指电荷量为q、相距为l的一对正负点电荷组成的电结构），点电荷q₀沿以电偶极子为中心、半径为R的半圆弧从A移动到B，试求q₀受到的电场力所做的功为多大？

Answer 1

分析 （1）根据点电荷电势公式φ=k$\frac{Q}{r}$以及φ_b-φ_a=φ_c-φ_b列式后分析求解；
（2）分别假设正负电荷单独存在，求出P点的电势，然后相加即可；
（3）先求解出A与B两点的电势，然后根据W_AB=qU_AB列式求解．

解答 解：（1）根据题意，a、b、c三点的电势分别为：φ_a=$\frac{kQ}{r_a}$，φ_b=$\frac{kQ}{r_b}$，φ_c=$\frac{kQ}{r_c}$，
因为 φ_b-φ_a=φ_c-φ_b
所以$\frac{kQ}{r_b}-\frac{kQ}{r_a}=\frac{kQ}{r_c}-\frac{kQ}{r_b}$
即$\frac{{{r_b}-{r_a}}}{{{r_b}{r_a}}}$=$\frac{{{r_c}-{r_b}}}{{{r_c}{r_b}}}$，$\frac{{{r_b}-{r_a}}}{{{r_c}-{r_a}}}=\frac{r_a}{r_c}$，
由于r_c＞r_a，所以有r_c-r_b＞r_b-r_a
即离点电荷越远的地方，等差等势面应画的越稀；
（2）设两个电荷到P点的距离均为r，则：
φ_p=$\frac{kQ}{r}$+$\frac{k（-Q）}{r}$=0；
（3）电偶极子在A、B两点的电势为：
φ_A=$\frac{kq}{{R-\frac{l}{2}}}$+$\frac{k（-q）}{{R+\frac{l}{2}}}$，
φ_B=$\frac{kq}{{R+\frac{l}{2}}}$+$\frac{k（-q）}{{R-\frac{l}{2}}}$，
A、B两点的电势差为：U_AB=φ_A-φ_B=$\frac{2kql}{{{R^2}-\frac{l^2}{4}}}$，
电场力做功为：W=qU_AB=$\frac{{2k{q_0}ql}}{{{R^2}-\frac{l^2}{4}}}$；
答：（1）证明如上；
（2）证明如上；
（3）q₀受到的电场力所做的功为$\frac{{2k{q_0}ql}}{{{R^2}-\frac{l^2}{4}}}$．

点评 本题关键根据题意，得到单个点电荷和一对点电荷的空间任意一点的电势表达式，然后根据据W_AB=qU_AB列式求解．