Question

13．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大进展．假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×10⁶ m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为一定值这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期．（g取10m/s²，77.53${\;}^{\frac{1}{3}}$=4.26，最后结果均保留2为有效数字．）
（1）试计算同步卫星与地球表面的距离；
（2）哈勃望远镜的运行周期．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力和地球表面的物体所受的重力约等于地球对它的万有引力列出等式求解；
哈勃天文望远镜绕地球做匀速圆周运动，根据哈勃天文望远镜的万有引力等于向心力和地球表面重力加速度公式，列出两式联立求解出周期表达式，再代入进行计算；也可以将哈勃天文望远镜与同步卫星的周期直接比较求解；还可以运用开普勒第三定律求解．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，同步卫星的周期T=24 h=24×3600s=8.64×10⁴s
处于地球表面的物体所受的重力约等于地球对它的万有引力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得r=4.26×10⁷ m．
所以地球同步卫星与地球表面的距离h=r-R=3.6×10⁷ m．
（2）由开普勒第三定律可知，$\frac{{{（h}_{1}+R）}^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{（h+R）}^{3}}{{T}^{2}}$，
R为地球的半径，h₁、T₁、h、T分别表示哈勃望远镜到地表的距离、哈勃望远镜的周期、同步卫星到地表的距离、同步卫星的周期（24 h），
代入数据解得T₁=1.6 h
答：（1）同步卫星与地球表面的距离是3.6×10⁷ m；
（2）哈勃望远镜的运行周期是1.6 h．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用，注意轨道半径与高度的区别．