Question

2．如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为2m，小杯通过最高点的速度为6m/s，g取10m/s²，求：
（1）在最高点时，绳的拉力？
（2）在最高点时水对小杯底的压力？
（3）为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率是多少？

Answer 1

分析 （1）受力分析，确定圆周运动所需要的向心力是由哪个力提供的；
（2）水对小杯底的压力与杯子对水的支持力是作用力与反作用力，只要求出杯子对水的支持力的大小就可以了，它们的大小相等，方向相反；
（3）物体恰好能过最高点，此时的受力的条件是只有物体的重力作为向心力．

解答 解：（1）小杯质量m=0.5kg，水的质量M=1kg，在最高点时，杯和水的受重力和拉力作用，如图所示，
合力F_合=（M+m）g+T-------------------------①
圆周半径为R，则F_向=（M+m）$\frac{v^2}{R}$----------------②
F_合提供向心力，有 （M+m）g+T=（M+m）$\frac{v^2}{R}$
所以细绳拉力为：T=（M+m）（$\frac{v^2}{R}$-g）=（1+0.5）（$\frac{{6}^{2}}{2}$-10）=12N；
（2）在最高点时，水受重力Mg和杯的压力F作用，如图所示，
合力为：F_合=Mg+F，
圆周半径为R，则有：F_向=M$\frac{{v}^{2}}{R}$，
F_合提供向心力，有：Mg+F=M$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以杯对水的压力为：F=M（$\frac{{v}^{2}}{R}$-g）=1×（$\frac{{6}^{2}}{2}$-10）=8N；
根据牛顿第三定律，水对小杯底的压力为8N，方向竖直向上．
（3）小杯经过最高点时水恰好不流出时，此时杯对水的压力为零，只有水的重力作为向心力，由（2）得：
Mg=M$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×2}$m/s=2$\sqrt{5}$m/s．
答：（1）在最高点时，绳的拉力为912N；
（2）在最高点时水对小杯底的压力为8N；
（3）在最高点时最小速率为2$\sqrt{5}$m/s．

点评 水桶在竖直面内做圆周运动时向心力的来源是解决题目的重点，分析清楚哪一个力做为向心力，再利用向心力的公式可以求出来，必须要明确的是当水桶恰好能过最高点时，只有水的重力作为向心力，此时水恰好流不出来．