Question

10．如图所示，质量为1Kg的小滑块N（可视为质点）放在质量也为1Kg的长木板M左端，N和M之间的动摩擦因数μ₁=0.5，M和地面之间的动摩擦因数μ₂=0.1，现给小滑块N一个水平向右的初速v₀=8m/s，小滑块N和长木板M同时到达B点且此时速度大小恰好相等，小滑块到达长木板右端后，能够由C点平滑地滑上固定的光滑圆弧轨道，圆轨道半径R=0.3m，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小滑块和长木板间摩擦产生的热量；
（2）判断小滑块是否会脱离圆弧轨道，若不会脱离，试证明，若会脱离，当圆弧轨道半径满足什么条件，小滑块不会脱离圆弧轨道．

Answer 1

分析 （1）分别隔离对滑块和木板分析，根据牛顿第二定律求出滑块和木板的加速度大小，结合运动学公式求出相等的速度以及木板的长度，根据Q=fL求出摩擦产生的热量．
（2）根据机械能守恒和牛顿第二定律求出最高点的弹力，分析滑块是否脱离圆弧轨道．若要不脱离，满足的条件是小球不能或恰好能到达圆弧轨道的圆心高度，或小球越过最高点．结合机械能守恒和牛顿第二定律综合求解．

解答 解：（1）分别对小滑块和长木板进行受力分析，小滑块做匀减速直线运动，加速度大小${a}_{1}={μ}_{1}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
长木板做匀加速直线运动，加速度大小${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=$\frac{0.5×10-0.1×20}{1}m/{s}^{2}=3m/{s}^{2}$．
根据v₀-a₁t=a₂t得，t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{8}{8}s=1s$，
则木板的长度L=${v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=8×1-\frac{1}{2}×5×1-\frac{1}{2}×3×1$m=4m，
小滑块与长木板间摩擦产生的热量Q=fL=0.5×10×4J=20J．
（2）小球滑上圆弧轨道的速度v_c=v₀-a₁t=8-5×1m/s=3m/s，
设通过最高点的速度为v，根据牛顿第二定律有：$G+N=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
根据机械能守恒有：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$．
联立两式代入数据解得N＜0，会脱离．
分两种情况：①若小球不能或恰好能到达圆弧轨道的圆心高度，则小球不会脱离轨道，
即$mgr≥\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$，
代入数据解得r≥0.45m．
②小球能够通过圆弧轨道的最高点，即：$2mgr=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，且$v≥\sqrt{gr}$，
代入数据解得r≤0.18m．
答：（1）小滑块和长木板间摩擦产生的热量为20J．
（2）会脱离轨道．若不会脱离，圆弧轨道半径r满足r≥0.45m或r≤0.18m．

点评 本题设计多过程问题，综合考查了机械能守恒、牛顿运动定律、运动学公式的运用，对于第二问，抓住不脱离轨道的条件，注意有两种可能，即小球不能或恰好能到达圆弧轨道的圆心高度，或小球越过最高点，结合机械能守恒进行求解．