Question

15．如图，AB是长度s=0.5m的水平轨道，B端与半径为R=0.1m的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD垂直．A端左侧固定一个倾角θ=30°的光滑斜面，连接处顺滑，穿过定滑轮（足够高）的轻绳两端分别系着小物块a和b，a的质量m₁=1kg．开始时将b按压在地面不动，a位于斜面上高h=0.5m的地方，此时滑轮左边的绳子竖直而右边的绳子突然断开，a继续沿着水平面运动，然后滑上轨道BCD，已知a与地面的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．
（1）若a到达C点时的速度v_c=1m/s，求a进入BD轨道的B点时对轨道压力大小；
（2）欲使a能滑上BC轨道但不会从最高点D滑出，求b的质量m₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出a到达B点的速度，结合牛顿第二定律求出轨道对a的支持力，从而得出a对轨道的压力．
（2）根据滑块恰好运动到B点，结合动能定理求出a经过A的最小速度，抓住滑块恰好到达c点，结合动能定理求出a经过A点的最大速度，再运用系统机械能守恒求出b的质量范围．

解答 解：（1）设物块a经过B点时的速度为v_b，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{b}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{c}}^{2}+{m}_{1}gR$，
设物块a刚进入圆轨道BC时受到的支持力为N，由牛顿第二定律知：
$N-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：N=40N，
由牛顿第三定律知，物块a对轨道的压力为40N．
（2）设物块a经过A点时的速度为v₁时，恰能滑到B点，由动能定理有：
$-{μm}_{1}gs=0-\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
代入数据解得：v₁=$\sqrt{2}m/s$．
若滑块恰好到达C点，根据动能定理有：
$-μ{m}_{1}gs-mgR=0-\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{2}}^{2}$，
代入数据解得v₂=2m/s．
综上可知，物块a经过A点的速度v_A应满足：$\sqrt{2}m/s＜{v}_{A}≤2m/s$，
绳断前a．b组成的系统机械能守恒，有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{A}}^{2}$=${m}_{1}gh-{m}_{2}g\frac{h}{sinθ}$，
解得：0.25kg≤m₂≤0.36kg．
答：（1）a进入BD轨道的B点时对轨道压力大小为40N．
（2）b的质量m₂的取值范围为0.25kg≤m₂≤0.36kg．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒、牛顿定律的综合运用，关键抓住临界状态，选择合适的规律进行求解．